Examen de Matemáticas II de Comunidad Valenciana 2025 (convocatoria extraordinaria)

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos)

La empresa TikiTak ha realizado un estudio del comportamiento de sus usuarios y ha observado que las $\frac{3}{5}$ partes de sus publicaciones reciben un “Like”. Juana es una usuaria de TikiTak. Se pide:

1.1 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba ningún “Like” si ha subido a la plataforma TikiTak cuatro publicaciones?
1.2 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba más de dos “Likes” en sus cuatro publicaciones?
1.3 (1 punto) Juana desea que la probabilidad de recibir al menos un “Like” sea mayor que 0.999. ¿Cuál es el menor número de publicaciones que ha de subir para conseguirlo?

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 Se dan las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3& -2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -3& 3\end{array}\right)$.

Obtener:

2.1.1 (1.25 puntos) La matriz $X$ solución de la ecuación $(A^{-1}X{)}^{-1}=A(B^{2}A{)}^{-1}$.

2.1.2 (0.5 puntos) El determinante de la matriz $(3A^{5}B{)}^2$.

2.1.3 (0.75 puntos) Los valores de $a$ y $b$, si existen, tales que
$a{B}^{100}+b{B}^{99}=A+C$.

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.2 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que dependen del parámetro real $a$:

$\{\begin{array}{l}x-ay-z=-a\\ ax-y+z=a\\ ax+y=a\end{array}$.

Se pide:

2.2.1 (1.25 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$.

2.2.2 (1.25 puntos) Calcular el conjunto de soluciones del sistema para aquellos valores de $a$ para los que el sistema es compatible determinado.

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.2 Dado el plano $\pi :3x+y-z=2$ y los puntos $P=(0,1,-1)$ y $Q=(1,a,1)$, calcular:

3.2.1 (1.25 puntos) Los valores del parámetro $a$, si existen, para los que la recta que pasa por $P$ y $Q$ está contenida en el plano $\pi$.
3.2.2 (1.25 puntos) Para $a=1$, el punto simétrico de $Q$ respecto del plano $\pi$.

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Dados los planos ${\pi }_1:x+2y+mz=-1$, donde $m$ es un parámetro real, y ${\pi }_2:x+z=6$.

3.1.1 (0.5 puntos) Encontrar el valor de $m$, si existe, para el que ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ son perpendiculares.
3.1.2 (1.25 puntos) Encontrar el valor de $m$ para el que ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ forman un ángulo de 45 grados.
3.1.3 (0.75 puntos) Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$.

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Dada la función real de variable real
$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$,
se pide:

4.1.1 (0.5 puntos) Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$.
4.1.2 (1.5 puntos) Calcular, si existen, los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función $f$.
4.1.3 (0.5 puntos) Representar la función $f$.

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.2 Dadas las funciones reales de variable real $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ y $g(x)=8x$, se pide:

4.2.1 (0.5 puntos) Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$.
4.2.2 (0.25 puntos) Dibujar las gráficas de ambas funciones.
4.2.3 (1.75 puntos) Calcular el área del recinto delimitado por el eje de abscisas, la recta $x=1$ y las gráficas de las dos funciones $y=f(x)$ e $y=g(x)$.