Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.2 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que dependen del parámetro real $a$:

$\{\begin{array}{l}x-ay-z=-a\\ ax-y+z=a\\ ax+y=a\end{array}$.

Se pide:

2.2.1 (1.25 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$.

2.2.2 (1.25 puntos) Calcular el conjunto de soluciones del sistema para aquellos valores de $a$ para los que el sistema es compatible determinado.

$\mathbf{\text{2.2.1}}\mathbf{\text{(1.25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

$\{\begin{array}{l}x-ay-z=-a\\ ax-y+z=a\\ ax+y=a\end{array}{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -a& -1& -a\\ a& -1& 1& a\\ a& 1& 0& a\end{array}\right)$

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -a& -1\\ a& -1& 1\\ a& 1& 0\end{array}\right)$

$\det (A)=\mid \begin{array}{ccc}1& -a& -1\\ a& -1& 1\\ a& 1& 0\end{array}\mid =-a^2-a-a-1=-a^2-2a-1=-(a+1{)}^2$

$\det (A)=0\Rightarrow -(a+1{)}^2=0\Rightarrow a=-1(\text{doble})$

Si $a=-1\Rightarrow \det (A)=0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)<3$





$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ -1& -1& 1& -1\\ -1& 1& 0& -1\end{array}\right)$




$$\begin{gathered} \text{Rango de }A: \\ \mid \begin{array}{c}1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0, \\ \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\mid =0,\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0 \end{gathered}$$