Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Problema 1.

Dado el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{l}x+y+az=1\\ x+ay+z=1\\ ax+y+z=-2\end{array}$, siendo $a$ un parámetro real, obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El estudio del sistema en función del parámetro $a$. (5 puntos)
b) Las soluciones del sistema cuando $a=-2$. (3 puntos)
c) La solución del sistema cuando $a=0$. (2 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{estudio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$
En primer lugar estudiamos el sistema y después responderemos las preguntas.

La matriz de coeficientes asociada al sistema es $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& a& 1\\ a& 1& 1\end{array}\right)$

La matriz ampliada de este sistema es: $A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& a& 1\\ 1& a& 1& 1\\ a& 1& 1& -2\end{array}\right)$

$A$ es una matriz $3\times 3$, por tanto el máximo rango de $A$ es 3.
$A^{\mathrm{\prime }}$ es una matriz $3\times 4$, por tanto el máximo rango de $A^{\mathrm{\prime }}$ es 3.
Empezamos estudiando el rango de $A$:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& a& 1\\ a& 1& 1\end{array}\mid =a+a+a-a^3-1-1=-a^3+3a-2$ $-a^3+3a-2=0$

Igualamos a cero.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow -a^3+3a-2=0$

$-a^3+3a-2=(a-1)(-a^2-a+2)$$\Rightarrow$$-a^2-a+2=0\Rightarrow a=\frac{1\pm \sqrt{(-1{)}^2-4(-1)2}}{-2}=\frac{1\pm 3}{-2}$

$\{\begin{array}{l}a=-2\\ a=1\end{array}$

Tenemos tres situaciones distintas a estudiar.

Para $a\mathrm{\ne }-2y1$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow ran(A)=3,\text{ y como }ran(A^{\mathrm{\prime }})\le 3\Rightarrow ran(A)=ran(A^{\mathrm{\prime }})=3=\text{nº inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$,
por lo que el sistema es compatible y determinado.

Para $a=-2$,

$A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -2& 1\\ 1& -2& 1& 1\\ -2& 1& 1& -2\end{array}\right)$

Sabemos que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, estudiemos los rangos de $A$ y $A^{\mathrm{\prime }}$:

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\mid =-2-1=-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow ran(A)=2\text{ y }ran(A^{\mathrm{\prime }})\ge 2$

En $A^{\mathrm{\prime }}$, a partir del menor de orden dos no nulo anterior formamos:

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -2& -2\end{array}\mid \Rightarrow \text{como }{C}_2=C_1\Rightarrow 0\Rightarrow ran(A^{\mathrm{\prime }})=2$

Por lo tanto, $ran(A)=ran(A^{\mathrm{\prime }})=2<n^{\circ }\text{ inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$, luego el sistema es compatible indeterminado.


Para $a=1$,

$A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& -2\end{array}\right)$

Sabemos que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, estudiamos los rangos de $A$ y $A^{\mathrm{\prime }}$:

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\mid =1-1=0\Rightarrow ran(A)=1$

En $A^{\mathrm{\prime }}$, a partir del menor de orden dos: $\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\mid =-2-1=-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow ran(A^{\mathrm{\prime }})=2$

Por lo tanto, $ran(A)\mathrm{\ne }ran(A^{\mathrm{\prime }})$, luego el sistema es **incompatible**.

Resumiendo los casos:

Si $a\mathrm{\ne }-2y1$, Sistema Compatible Determinado
Si $a=-2$, Sistema Compatible Indeterminado
Si $a=1$, Sistema Incompatible



El sistema a resolver es el correspondiente a las ecuaciones e incógnitas del menor de orden 2 no nulo. Es decir, el formado por la 1ª y 2ª ecuaciones y como incógnitas principales $x$ e $y$:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x-2y-z=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x+y=2-z\\ x-2y=2+z\end{array}$

$x=\frac{\mid \begin{array}{cc}2-z& 1\\ 2+z& -2\end{array}\mid }{-3}=\frac{-4-2z+z-2}{-3}=\frac{-6-z}{-3}=2+\frac{z}{3}$

$y=\frac{\mid \begin{array}{cc}1& 2-z\\ -2& 2+z\end{array}\mid }{-3}=\frac{2+z-(-4+2z)}{-3}=\frac{6-z}{-3}=-2+\frac{z}{3}$

La solución del sistema:

$\{\begin{array}{l}x=2+{\displaystyle \frac{z}{3}}\\ y=-2+{\displaystyle \frac{z}{3}}\end{array},z\in \mathbb{R}$$\Rightarrow$$\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$



Si $a=0,a\mathrm{\ne }-2y1$, el sistema será compatible determinado. Resolvámoslo.

La matriz ampliada de este nuevo sistema sería:

$A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& -2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(-a^3+3a-2){\mid }_{a=0}=-2$

Resolvemos por Cramer,

$x=\frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ -2& 1& 1\end{array}\mid }{-2}=\frac{-2-1-1}{-2}=2$

$y=\frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& -2& 1\end{array}\mid }{-2}=\frac{1+2-1}{-2}=-1$

$z=\frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& -2\end{array}\mid }{-2}=\frac{-1+1+2}{-2}=-1$

Para $a=0$, la solución es:

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\\ z=-1\end{array}$