Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Problema 1.

Dado el sistema de ecuaciones lineales $\left(\begin{array}{ccc}2& a+1& 1\\ 1& a& 2\\ 1& 1& a+2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$, donde $a$ es un parámetro real:

a) Discutir el sistema en función del parámetro $a$. (6 puntos)
b) Obtener las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado. (4 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(6}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La matriz ampliada de este sistema es:

$A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{ccccc}2& a+1& 1& \mathrm{\mid }& -1\\ 1& a& 2& \mathrm{\mid }& 1\\ 1& 1& a+2& \mathrm{\mid }& 2\end{array}\right)$

$A$ es una matriz $3$x$3$, por tanto el máximo rango de $A$ es $3$.

$A\text{’}$ es una matriz $3$x$4,$ por tanto el máximo rango de $A$ es $3$.

Empezamos estudiando el rango de $A$:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& a+1& 1\\ 1& a& 2\\ 1& 1& a+2\end{array}\mid =2a(a+2)+1+2(a+1)-a-(a+1)(a+2)-4$

$=2a^2+4a+1+2a+2-a-(a^2+3a+2)-4=2a^2+5a-1-a^2-3a-2=a^2+2a-3$

$a^2+2a-3=0;a=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm 4}{2}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ a=-3\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }-3$ o $a\mathrm{\ne }1$ $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=3$,

Y como el máximo rango de $A\text{’}$ es 3 ⇒ $\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})=3=n^{\circ }\text{ inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$, por lo que el sistema es compatible y determinado.

Si $a=-3$

$A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{ccccc}2& -2& 1& \mathrm{\mid }& -1\\ 1& -2& 2& \mathrm{\mid }& 1\\ 1& 1& 0& \mathrm{\mid }& 2\end{array}\right)$

Sabemos que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, estudiemos el rango de $A$,

$\mid \begin{array}{cc}-2& -2\\ 1& 0\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

En $A^{\mathrm{\prime }}$,

$\mid \begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ -2& 2& 1\\ 1& 0& 2\end{array}\mid =8+1-2+4=11\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})=3$

Por lo tanto, $\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})$, luego el sistema es incompatible.

Si $a=1$

$A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{ccccc}2& 2& 1& \mathrm{\mid }& -1\\ 1& 1& 2& \mathrm{\mid }& 1\\ 1& 1& 3& \mathrm{\mid }& 2\end{array}\right)$

Sabemos que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, estudiemos el rango de $A$,

$\mid \begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\mid =2-2=0$

En $A$,

$\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\mid =4-1=3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

En $A^{\mathrm{\prime }}$,

$\mid \begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 2& 2& 1\\ 1& 3& 2\end{array}\mid =8-3+1+2-6-2=0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})=2$

Por lo tanto,
$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})=2<3(\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas})$, luego el sistema es compatible indeterminado.

Por tanto,
si $a\mathrm{\ne }-3$, el sistema es compatible determinado;
si $a=-3$, el sistema es incompatible;
si $a=1$, el sistema es compatible indeterminado.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{cuando}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ste}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{indeterminado.}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El sistema es compatible indeterminado para $a=1$ y el menor de orden $2$ no nulo de A corresponde a las ecuaciones 1ª y 2ª y a las incógnitas $y,z$.

La matriz ampliada de este sistema es:

$A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{ccccc}2& 2& 1& \mathrm{\mid }& -1\\ 1& 1& 2& \mathrm{\mid }& 1\\ 1& 1& 3& \mathrm{\mid }& 2\end{array}\right)$

El sistema a resolver es:

$\{\begin{array}{l}2y+z=-1-2x\\ y+2z=1-x\end{array}$

Sabemos que

$\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =3$

Resolviendo por Cramer,

$y=\frac{\mid \begin{array}{cc}-1-2x& 1\\ 1-x& 2\end{array}\mid }{3}=\frac{-2-4x-1+x}{3}\frac{-3-3x}{3}=-1-x$

$z=\frac{\mid \begin{array}{cc}2& -1-2x\\ 1& 1-x\end{array}\mid }{3}=\frac{2-2x+1+2x}{3}=\frac{3}{3}=1$

Las soluciones del sistema cuando es compatible indeterminado son:

$\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=-1-\lambda \\ z=1\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$