Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Problema 1.

Se da el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{ll}2x-y+z& =m\\ x+y+3z& =0\\ 5x-4y+mz& =m\end{array}$, donde $m$ es un parámetro real. Se pide:

a) La discusión del sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$. (4 puntos)
b) La solución del sistema cuando $m=1$. (3 puntos)
c) Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado. (3 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{discusi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La matriz de coeficientes es: $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 1& 3\\ 5& -4& m\end{array}\right)$

La matriz ampliada de este sistema es: $A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 1& m\\ 1& 1& 3& 0\\ 5& -4& m& m\end{array}\right)$

A es una matriz $3\times 3$, por tanto el máximo rango de A es 3.

$A^{\mathrm{\prime }}$ es una matriz $3\times 4$, por tanto el máximo rango de $A^{\mathrm{\prime }}$ es 3.

Empezamos estudiando el rango de $A$.

$\mid \begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 1& 3\\ 5& -4& m\end{array}\mid =2m-4-15-5+24+m=3m$

$3m=0\Rightarrow m=0$

Para $m\mathrm{\ne }0$,

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=3,y\text{como el m}\acute{\text{a}}\text{ximo rango de }{A}^{\mathrm{\prime }}\text{ es }3\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})=3=n^{\circ }\text{ inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas},$

por lo que el sistema es compatible y determinado

Para $m=0$,

$A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 1& 0\\ 1& 1& 3& 0\\ 5& -4& 0& 0\end{array}\right)$

Sería un sistema homogéneo, luego compatible $(\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }}))$.

Sabemos que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$, estudiemos el rango de $A$.

$\mid \begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\mid =2+1=3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Por lo tanto: $\mathrm{ran}(A)=2=\mathrm{ran}(A^{\mathrm{\prime }})<n^{\circ }\text{ de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$, luego el sistema es compatible indeterminado.

Por tanto, el sistema es compatible determinado para $m\mathrm{\ne }0$ y compatible indeterminado para $m=0$.



Si $m=1(m\mathrm{\ne }0)$, el sistema es compatible determinado.
La matriz ampliada de este nuevo sistema sería: $A^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 1& 1\\ 1& 1& 3& 0\\ 5& -4& 1& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(3m{)}_{m=1}=3\cdot 1=3$

Resolviendo por Cramer,

$x=\frac{\mid \begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 1& 3\\ -4& 4& 1\end{array}\mid }{3}=\frac{1-3+12}{3}=3$

$y=\frac{\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 0& 3\\ 5& 1& 1\end{array}\mid }{3}=\frac{1+15-6-1}{3}=3$

$z=\frac{\mid \begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 1& 0\\ 5& -4& 1\end{array}\mid }{3}=\frac{2-4-5+1}{3}=-2$

Si $m=1$, la solución es: $\{\begin{array}{l}x=3\\ y=3\\ z=-2\end{array}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{indeterminado.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El sistema es compatible indeterminado para $m=0$.

El sistema a resolver es el correspondiente a las ecuaciones e incógnitas del menor de orden 2 no nulo calculado en el apartado a). Es decir, el formado por la 1ª y 2ª ecuaciones y como incógnitas principales $x,y$.

$\{\begin{array}{l}2x-y+z=0\\ x+y+3z=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x-y=-z\\ x+y=-3z\end{array}$

$x=\frac{\mid \begin{array}{cc}-z& -1\\ -3z& 1\end{array}\mid }{3}=\frac{-z-3z}{3}=-\frac{4z}{3}$

$y=\frac{\mid \begin{array}{cc}2& -z\\ 1& -3z\end{array}\mid }{3}=\frac{-6z+z}{3}=-\frac{5z}{3}$

$\{\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{4\lambda }{3}}\\ y=-{\displaystyle \frac{5\lambda }{3}}\\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$