Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Problema 1.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real $m$:

$\{\begin{array}{l}-x+y+z=m\\ 2x+my-z=3m\\ (m-1)x+3y-z=6+m\end{array}$.

Se pide:

a) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro $m$. (6 puntos)
b) Para los valores de $m$ para los que el sistema es compatible indeterminado, encontrar la solución. (4 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(6}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se considera el sistema:

$\{\begin{array}{l}-x+y+z=m\\ 2x+my-z=3m\\ (m-1)x+3y-z=6+m\end{array}$

La matriz ampliada del sistema es:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 1& 1& \mathrm{\mid }& m\\ 2& m& -1& \mathrm{\mid }& 3m\\ m-1& 3& -1& \mathrm{\mid }& 6+m\end{array}\right)$

y la matriz de coeficientes es:

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 2& m& -1\\ m-1& 3& -1\end{array}\right)$

Se calcula el determinante de $A$:

$\det (A)=\mid \begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 2& m& -1\\ m-1& 3& -1\end{array}\mid =-m^2+m+6=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=-2\\ m=3\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }-2$ y $m\mathrm{\ne }3$, entonces el $\det (A)\mathrm{\ne }0$, por lo que:

$\mathrm{rg}(A)=3\text{y}\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$

Como el número de incógnitas es 3, por el teorema de Rouché–Frobenius el sistema es compatible determinado.

Si $m=-2$, se tiene $\det (A)=0$ y por tanto $\mathrm{rg}(A)<3$.

En este caso, la matriz ampliada es:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 1& 1& \mathrm{\mid }& -2\\ 2& -2& -1& \mathrm{\mid }& -6\\ -3& 3& -1& \mathrm{\mid }& 4\end{array}\right)$

Para calcular el rango de $A$, se estudian menores de orden 2:

$\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -2\end{array}\mid =0,\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ -3& 3\end{array}\mid =0$, pero: $\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$

por lo que $\mathrm{rg}(A)=2$.

Para el rango de la matriz ampliada:

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 1& -2\\ 2& -1& -6\\ -3& -1& 4\end{array}\mid =30\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A^{\ast })=3$.

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{rg}(A)=2\\ \mathrm{rg}(A^{\ast })=3\end{array}\right\}\stackrel{\text{Tª de Rouch}\acute{\text{e}}\text{–Frobenius}}{\Rightarrow }\text{ Sistema incompatible}\mathrm{.}$

Si $m=3$, entonces $\det (A)=0$ y por tanto $\mathrm{rg}(A)<3$..

La matriz ampliada del sistema es:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 1& 1& \mathrm{\mid }& 3\\ 2& 3& -1& \mathrm{\mid }& 9\\ 2& 3& -1& \mathrm{\mid }& 9\end{array}\right)$

Para calcular el rango de la matriz de coeficientes $A$, se estudian menores de orden 2:

$\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 3\end{array}\mid =-5\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

Para el rango de la matriz ampliada:

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 1& 3\\ 2& 3& 9\\ 2& 3& 9\end{array}\mid =0\Rightarrow \mathrm{rg}(A^{\ast })=2$

Como:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{rg}(A)=2\\ \mathrm{rg}(A^{\ast })=2\\ \text{nº inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}=3\end{array}\right\}\stackrel{\text{Tª de Rouch}\acute{\text{e}}\text{–Frobenius}}{\Rightarrow }\text{ Sistema compatible indeterminado}\mathrm{.}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{indeterminado,}}\mathbf{\text{encontrar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Cogemos las ecuaciones determinadas por el rango:

$\{\begin{array}{l}-x+y+z=3\\ 2x+3y-z=9\end{array}$

Sumando las ecuaciones $E_1+E_2$ se obtiene:

$x+4y=12$

Tomamos $y=\lambda \in \mathbb{R}$, entonces:

$x=12-4\lambda$

Sustituyendo en la primera ecuación:

$z=3+x-y=3+(12-4\lambda )-\lambda =15-5\lambda$

Las infinitas soluciones del sistema para $m=3$ vienen dadas por:

$(x,y,z)=(12-4\lambda ,\lambda ,15-5\lambda ),\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{R}\mathrm{.}$