Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Tres amigas, Sara, Cristina y Jimena, tienen un total de 15000 seguidores en una red social. Si Jimena perdiera el 25% de sus seguidores todavía tendría el triple de seguidores que Sara. Además, la mitad de los seguidores de Sara más la quinta parte de los de Cristina suponen la cuarta parte de los seguidores de Jimena. Calcule cuántos seguidores tiene cada una de las tres amigas.

$\mathbf{\text{A.1.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{seguidores}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{amigas.}}$

Llamamos $x$, $y$ e $z$ al número de seguidores de Sara, Cristina y Jimena, y traducimos las tres condiciones.

$x+y+z=15000$

Perder el 25 % es quedarse con el 75 %, y aun así Jimena tendría el triple que Sara:

$\mathrm{0,75}z=3x\Rightarrow z=4x$

La mitad de los de Sara más la quinta parte de los de Cristina son la cuarta parte de los de Jimena:

${\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{y}{5}}={\displaystyle \frac{z}{4}}$

Sustituimos $z=4x$ en la tercera ecuación, con lo que queda una relación entre $x$ e $y$.

${\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{y}{5}}=x\Rightarrow {\displaystyle \frac{y}{5}}={\displaystyle \frac{x}{2}}\Rightarrow y={\displaystyle \frac{5x}{2}}$

Llevamos las dos expresiones a la primera ecuación.

$x+{\displaystyle \frac{5x}{2}}+4x=15000\Rightarrow {\displaystyle \frac{15x}{2}}=15000\Rightarrow x=2000$

$y={\displaystyle \frac{5\cdot 2000}{2}}=5000;z=4\cdot 2000=8000$

Comprobamos el total: $2000+5000+8000=15000$.

Sara tiene 2000 seguidores, Cristina 5000 y Jimena 8000.