Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

B. 1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Tres primos, Pablo, Alejandro y Alicia, se van a repartir un premio de 9450 euros de forma directamente proporcional a sus edades. La suma de las edades de Pablo y Alejandro excede en tres años al doble de la edad de Alicia. Además, la edad de los tres primos juntos es de 45 años. Sabiendo que en el reparto del premio la diferencia entre lo que recibe Pablo y lo que recibe Alicia es de 420 euros, calcule las edades de los tres primos y el dinero que recibe cada uno por el premio.

$\mathbf{\text{B.1.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{edades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{primos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dinero}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{recibe}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{premio.}}$

Llamamos $x$, $y$ e $z$ a las edades de Pablo, Alejandro y Alicia. Las dos primeras condiciones son directas.

$x+y+z=45$

$x+y=2z+3\Rightarrow x+y-2z=3$

La tercera hay que traducirla. El reparto es directamente proporcional a las edades, y como los 9450 euros se reparten entre 45 años, a cada año le tocan 210 euros.

${\displaystyle \frac{9450}{45}}=210$

$210x-210z=420\Rightarrow x-z=2$

Restamos la segunda ecuación de la primera para despejar la edad de Alicia.

$3z=42\Rightarrow z=14$

$x=z+2=16;y=45-16-14=15$

Multiplicamos cada edad por los 210 euros que le corresponden a cada año.

$16\cdot 210=3360;15\cdot 210=3150;14\cdot 210=2940$

Pablo tiene 16 años y recibe 3360 €, Alejandro tiene 15 años y recibe 3150 €, y Alicia tiene 14 años y recibe 2940 €.