Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real $a$:

$\{\begin{array}{l}ax-2y+(a-1)z=4\\ -2x+3y-6z=2\\ -ax+y-6z=6\end{array}$

a) (2 puntos) Discuta el sistema según los diferentes valores de $a$.
b) (0.5 puntos) Resuelva el sistema para $a=1.$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, empezando por el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& -2& a-1\\ -2& 3& -6\\ -a& 1& -6\end{array}\mid =3a^2-29a+26$

$3a^2-29a+26=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{29\pm \sqrt{841-312}}{6}}={\displaystyle \frac{29\pm 23}{6}}$

$a=1;a={\displaystyle \frac{26}{3}}$

Para el resto de valores los dos rangos valen 3, igual al número de incógnitas.

$a\mathrm{\ne }1\text{ y }a\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{26}{3}}\Rightarrow \text{compatible determinado}$

Con $a=1$ los dos rangos coinciden y valen 2, con lo que sobra una ecuación.

$a=1\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3\Rightarrow \text{compatible indeterminado}$

Con $a=\frac{26}{3}$, en cambio, la ampliada gana un rango sobre la de coeficientes.

$a={\displaystyle \frac{26}{3}}\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{rg}(A^{\ast })\Rightarrow \text{incompatible}$



Con ese valor el sistema es indeterminado con un grado de libertad, así que nos quedamos con dos ecuaciones independientes.

$\{\begin{array}{l}x-2y=4\\ -y-6z=10\end{array}$

Tomamos $z=t$ como parámetro y despejamos hacia atrás.

$y=-10-6t;x=4+2y=4-20-12t=-16-12t$

$(x,y,z)=(-16-12t,-10-6t,t),t\in \mathbb{R}$