Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En una obra, para transportar la tierra extraída para la construcción de los cimientos de un edificio, se usan tres tipos de camiones diferentes: A, B y C. Los camiones de tipo A tienen una capacidad de 14 toneladas, los de tipo B, de 24 toneladas y los de tipo C, de 28 toneladas. Habría que tirar un camión más de tipo A para igualar al número de camiones restantes. El 10 % de la capacidad de todos los camiones tipo B supone un séptimo de la de los de mayor tonelaje. Hoy, realizando un único viaje cada camión a máxima capacidad, se han extraído de la obra 302 toneladas de tierra. ¿Cuánta tierra ha sido transportada hoy por los camiones de cada tipo?

$\mathbf{\text{A.1.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nta}}\mathbf{\text{tierra}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{transportada}}\mathbf{\text{hoy}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{camiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo?}}$

Llamamos $x$, $y$ e $z$ al número de camiones de tipo $A$, $B$ y $C$ respectivamente, y traducimos las tres condiciones del enunciado.

Traer un camión más de tipo $A$ igualaría el número de camiones restantes:

$x+1=y+z$

El 10 % de la capacidad de todos los camiones de tipo $B$ es un séptimo de la de los de mayor tonelaje, que son los de tipo $C$:

${\displaystyle \frac{10}{100}}\cdot 24y={\displaystyle \frac{1}{7}}\cdot 28z\Rightarrow \mathrm{2,4}y=4z\Rightarrow y={\displaystyle \frac{5}{3}}z$

Y el total transportado hoy, a máxima capacidad y un viaje cada camión, son 302 toneladas:

$14x+24y+28z=302$

Sustituimos las dos primeras relaciones en la tercera para dejar una sola incógnita.

$14(y+z-1)+24y+28z=302\Rightarrow 38y+42z=316\Rightarrow 19y+21z=158$

$19\cdot {\displaystyle \frac{5}{3}}z+21z=158\Rightarrow {\displaystyle \frac{158}{3}}z=158\Rightarrow z=3$

$y={\displaystyle \frac{5}{3}}\cdot 3=5;x=y+z-1=7$

Comprobamos el total: $14\cdot 7+24\cdot 5+28\cdot 3=98+120+84=302$.

La pregunta no es cuántos camiones hay, sino cuánta tierra ha movido cada tipo, así que multiplicamos por la capacidad. Los camiones de tipo $A$ han transportado 98 toneladas, los de tipo $B$ 120 y los de tipo $C$ 84.