Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

2. Números y Álgebra:
Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $\{\begin{array}{rcrcrcr}mx& +& y& +& z& =& 2m,\\ mx& +& (m+1)y& +& z& =& 1,\\ mx& +& (m+1)y& +& 2z& =& m+1.\end{array}$

$\mathbf{\text{Discuta,}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema.}}$

Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^{\ast }$ a la ampliada, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ m& m+1& 1\\ m& m+1& 2\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}m& 1& 1& 2m\\ m& m+1& 1& 1\\ m& m+1& 2& m+1\end{array}\right)$

Toda la primera columna tiene el factor $m$, que sacamos fuera del determinante; después restamos la primera fila a las otras dos.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=m\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& m+1& 1\\ 1& m+1& 2\end{array}\mid =m\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& m& 0\\ 0& m& 1\end{array}\mid =m\cdot m=m^2$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m^2=0\Rightarrow m=0$

Si $m\mathrm{\ne }0$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $m=0$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 1\end{array}\right)$

La primera columna de $M$ es nula, luego su rango no llega a 3; y el menor

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =2-1=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

En $M$ las dos primeras filas son idénticas, pero en $M^{\ast }$ dejan de serlo porque sus términos independientes valen 0 y 1. Orlamos el menor anterior con esa columna:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\mid =1+1+0-0-2-1=-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $m\mathrm{\ne }0$ e incompatible para $m=0$. No hay ningún valor del parámetro que lo haga compatible indeterminado.