Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

2. Números y Álgebra:
Discuta, según los valores de $m$, el sistema $\{\begin{array}{rcrcrcr}mx& +& (2+m^2)y& & & =& 1+m,\\ & & my& -& z& =& 1,\\ mx& +& 2y& +& (2m-4)z& =& 5.\end{array}$

$\mathbf{\text{Discuta,}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema.}}$

Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^{\ast }$ a la ampliada, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\left(\begin{array}{ccc}m& 2+m^2& 0\\ 0& m& -1\\ m& 2& 2m-4\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}m& 2+m^2& 0& 1+m\\ 0& m& -1& 1\\ m& 2& 2m-4& 5\end{array}\right)$

Desarrollamos el determinante por la primera columna, que solo tiene dos elementos no nulos.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=m[m(2m-4)+2]-(2+m^2)[0\cdot (2m-4)+m]$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=m(2m^2-4m+2)-m(2+m^2)=2m^3-4m^2+2m-2m-m^3$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=m^3-4m^2=m^2(m-4)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m^2(m-4)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=0\\ m=4\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }0$ y $m\mathrm{\ne }4$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $m=0$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}0& 2& 0& 1\\ 0& 0& -1& 1\\ 0& 2& -4& 5\end{array}\right)$

La primera columna de $M$ es nula, luego su rango no llega a 3; y el menor

$\mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

En este caso la tercera fila es combinación de las dos primeras, y la relación se mantiene en la columna de términos independientes:

$F_3=F_1+4F_2\Rightarrow (0,2,-4\mid 5)=(0,2,0\mid 1)+4(0,0,-1\mid 1)$

luego $\mathrm{ran}(M^{\ast })=2$ también.

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

Resolviéndolo con las dos primeras ecuaciones: $2y=1\Rightarrow y=\frac{1}{2}$ y $-z=1\Rightarrow z=-1$, quedando $x$ libre.

$\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ z=-1\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Si $m=4$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}4& 18& 0& 5\\ 0& 4& -1& 1\\ 4& 2& 4& 5\end{array}\right)$

Sabemos que $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0$, y el menor

$\mid \begin{array}{cc}4& 18\\ 0& 4\end{array}\mid =16\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}4& 18& 5\\ 0& 4& 1\\ 4& 2& 5\end{array}\mid =80+72+0-80-8-0=64\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

En resumen: compatible determinado si $m\mathrm{\ne }0$ y $m\mathrm{\ne }4$, compatible indeterminado con un parámetro si $m=0$, e incompatible si $m=4$.