Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

PREGUNTA 2. Números y Álgebra. (2 puntos)
Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $\{\begin{array}{rcrcrcl}mx& +& (m+2)y& +& z& =& 3,\\ 2mx& +& 3my& +& 2z& =& 5,\\ & & (m-4)y& +& mz& =& m\mathrm{.}\end{array}$

$\mathbf{\text{Discuta,}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema.}}$

Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^{\ast }$ a la ampliada, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\left(\begin{array}{ccc}m& m+2& 1\\ 2m& 3m& 2\\ 0& m-4& m\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}m& m+2& 1& 3\\ 2m& 3m& 2& 5\\ 0& m-4& m& m\end{array}\right)$

Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollándolo por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=3m^3+0+2m(m-4)-0-2m(m-4)-2m^2(m+2)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=3m^3-2m^3-4m^2=m^3-4m^2=m^2(m-4)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m^2(m-4)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=0\\ m=4\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }0$ y $m\mathrm{\ne }4$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $m=0$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}0& 2& 1& 3\\ 0& 0& 2& 5\\ 0& -4& 0& 0\end{array}\right)$

La primera columna de $M$ es nula, luego su rango no llega a 3; y el menor

$\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\mid =4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 2& 5\\ -4& 0& 0\end{array}\mid =0-20+0+24-0-0=4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Si $m=4$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}4& 6& 1& 3\\ 8& 12& 2& 5\\ 0& 0& 4& 4\end{array}\right)$

En $M$ la segunda fila es el doble de la primera, luego su rango no llega a 3; y el menor

$\mid \begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 4\end{array}\mid =16\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Orlando con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}4& 1& 3\\ 8& 2& 5\\ 0& 4& 4\end{array}\mid =32+0+96-0-80-32=16\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo valor de $m$ distinto de 0 y de 4, y es incompatible para $m=0$ y para $m=4$. No hay ningún valor del parámetro que lo haga compatible indeterminado.