Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Ejercicio A1
Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro $\alpha$:
$\{\begin{array}{l}\alpha x-y+z=1,\\ 3x-y+\alpha z=\alpha ,\\ x+(\alpha -1)z=1.\end{array}$
Resolver el sistema para $\alpha =3$, si es posible.

$\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{.}}$

La discusión se hace con el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & -1& 1\\ 3& -1& \alpha \\ 1& 0& \alpha -1\end{array}\right)$

Desarrollamos por la tercera fila, que tiene un cero:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\cdot \mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& \alpha \end{array}\mid +(\alpha -1)\mid \begin{array}{cc}\alpha & -1\\ 3& -1\end{array}\mid$

$=(-\alpha +1)+(\alpha -1)(-\alpha +3)=(1-\alpha )+(\alpha -1)(3-\alpha )$

Sacando factor común $(1-\alpha )$:

$=(1-\alpha )[1-(3-\alpha )]=(1-\alpha )(\alpha -2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\alpha =1\\ \alpha =2\end{array}$

Distinguimos los tres casos.

i) Si $\alpha \mathrm{\ne }1$ y $\alpha \mathrm{\ne }2$, el determinante no se anula, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3$ y el sistema es compatible determinado.

ii) Si $\alpha =1$, la matriz ampliada es:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 3& -1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1\end{array}\right)$

El menor $\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 3& -1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0$ da $\text{rg}(A)=2$. Orlándolo con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 3& -1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\mid =1(-1-0)+1(3-1)+1(0+1)=-1+2+1=2\mathrm{\ne }0$

Luego $\text{rg}(A^{\ast })=3$ y el sistema es incompatible.

iii) Si $\alpha =2$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 1& 1\\ 3& -1& 2& 2\\ 1& 0& 1& 1\end{array}\right)$

Aquí la primera fila es la diferencia de la segunda y la tercera, de modo que $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $\alpha \mathrm{\ne }1$ y $\alpha \mathrm{\ne }2$; incompatible si $\alpha =1$; y compatible indeterminado si $\alpha =2$.



Sí es posible: para $\alpha =3$ el sistema es compatible determinado, con $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(1-3)(3-2)=-2\mathrm{\ne }0$.

$\{\begin{array}{l}3x-y+z=1\\ 3x-y+3z=3\\ x+2z=1\end{array}$

Restando la primera ecuación de la segunda se eliminan $x$ e $y$:

$2z=2\Rightarrow z=1$

De la tercera ecuación:

$x=1-2z=-1$

Y de la primera:

$y=3x+z-1=-3+1-1=-3$

Para $\alpha =3$ la solución es $x=-1$, $y=-3$, $z=1$.