Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Ejercicio A1
Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$:
$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=1,\\ x+\alpha y+z=1,\\ 2x+3y+4z=2.\end{array}$
Resuelve el sistema en los casos $\alpha =1$ y $\alpha =2$.

$\mathbf{\text{Discute}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{existencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{.}}$

La discusión se hace con el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& \alpha & 1\\ 2& 3& 4\end{array}\right)$

Desarrollamos por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1(4\alpha -3)-2(4-2)+3(3-2\alpha )$

$=4\alpha -3-4+9-6\alpha =2-2\alpha$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\iff \alpha =1$

Distinguimos los dos casos.

i) Si $\alpha \mathrm{\ne }1$, el determinante no se anula, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3$ y el sistema es compatible determinado.

ii) Si $\alpha =1$, la matriz ampliada es:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 3& 4& 2\end{array}\right)$

La tercera fila es la suma de las dos primeras, de modo que sobra. El menor $\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$ da $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=2<3$, y el sistema es compatible indeterminado.

El sistema es compatible determinado para todo $\alpha \mathrm{\ne }1$ y compatible indeterminado para $\alpha =1$; nunca es incompatible.



Para $\alpha =1$ el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Nos quedamos con las dos ecuaciones independientes y tomamos $z$ como parámetro:

$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=1\\ x+y+z=1\end{array},z=\lambda$

Restando la segunda de la primera se elimina la $x$:

$y+2\lambda =0\Rightarrow y=-2\lambda$

$x=1-y-\lambda =1+2\lambda -\lambda =1+\lambda$

$(x,y,z)=(1+\lambda ,-2\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Comprobamos en la tercera ecuación, que es la dependiente:

$2(1+\lambda )+3(-2\lambda )+4\lambda =2+2\lambda -6\lambda +4\lambda =2$

Para $\alpha =2$ el sistema es compatible determinado. Su determinante vale $2-4=-2\mathrm{\ne }0$:

$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=1\\ x+2y+z=1\\ 2x+3y+4z=2\end{array}$

Restando la segunda de la primera:

$2z=0\Rightarrow z=0$

Con eso las dos primeras se reducen a $x+2y=1$, y la tercera a $2x+3y=2$. Resolviendo:

$x=1-2y\Rightarrow 2(1-2y)+3y=2\Rightarrow -y=0\Rightarrow y=0,x=1$

Para $\alpha =1$ el sistema tiene infinitas soluciones $(1+\lambda ,-2\lambda ,\lambda )$, y para $\alpha =2$ tiene la solución única $x=1$, $y=0$, $z=0$.