Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.2 Sea el sistema de ecuaciones lineales: $\{\begin{array}{l}3x-2y-3z=0\\ 2x+ay-5z=-3,\\ x+y+2z=3\end{array}$ donde $a$ es un parámetro real. Se pide:

2.2.1 (1 punto) Discutir el sistema en función del parámetro $a$.
2.2.2 (0.75 puntos) Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.
2.2.3 (0.75 puntos) Calcular la solución del sistema para $a=0$.

$\mathbf{\text{2.2.1}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Discutir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}$

$\{\begin{array}{l}3x-2y-3z=0\\ 2x+ay-5z=-3\\ x+y+2z=3\end{array}{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& -2& -3& 0\\ 2& a& -5& -3\\ 1& 1& 2& 3\end{array}\right)$

$\det (A)=\mid \begin{array}{ccc}3& -2& -3\\ 2& a& -5\\ 1& 1& 2\end{array}\mid =9a+27$

$\det (A)=0\Rightarrow 9a+27=0\Rightarrow a=-3$

Si $a\mathrm{\ne }-3$, entonces $\det (A)\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=3\Rightarrow \mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, que coincide con el nº de incógnitas.

Por el teorema de Rouché, sistema compatible determinado.

Si $a=-3$, entonces $\det (A)=0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)<3$.

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& -2& -3& 0\\ 2& -3& -5& -3\\ 1& 1& 2& 3\end{array}\right)$

Para $\mathrm{rg}(A)$:

$\mid \begin{array}{c}3\end{array}\mid =3\mathrm{\ne }0$

$\mid \begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -3\end{array}\mid =-5\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

Para $\mathrm{rg}(A^{\ast })$:

$\mid \begin{array}{ccc}3& -2& 0\\ 2& -3& -3\\ 1& 1& 3\end{array}\mid =0\Rightarrow \mathrm{rg}(A^{\ast })=2$

Como $\mathrm{rg}(A)=2$, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$ y el nº de incógnitas es $3$,

por el teorema de Rouché, sistema compatible indeterminado.

$\mathbf{\text{2.2.2}}\mathbf{\text{(0.75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{cuando}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ste}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{indeterminado.}}$

Cogemos las ecuaciones determinadas por el rango:

$\{\begin{array}{l}3x-2y-3z=0\\ 2x-3y-5z=-3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}9x-6y-9z=0\\ -4x+6y+10z=6\end{array}\Rightarrow 5x+z=6$

$x=\lambda ,\lambda \in \mathbb{R}$

$z=6-5\lambda$

$y=\frac{3x-3z}{2}=\frac{3\lambda -3(6-5\lambda )}{2}=\frac{3\lambda -18+15\lambda }{2}=-9+9\lambda$

Las infinitas soluciones del sistema cuando $a=-3$ vienen dadas por:

$(x,y,z)=(\lambda ,-9+9\lambda ,6-5\lambda ),\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{R}$



Para $a=0$ ya se ha justificado que el sistema es compatible determinado. Con la regla de Cramer:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& -2& -3& 0\\ 2& 0& -5& -3\\ 1& 1& 2& 3\end{array}\right)$, y $\det (A)=9a+27=27$

$x=\frac{\mid \begin{array}{ccc}0& -2& -3\\ -3& 0& -5\\ 3& 1& 2\end{array}\mid }{27}=\frac{27}{27}=1$

$y=\frac{\mid \begin{array}{ccc}3& 0& -3\\ 2& -3& -5\\ 1& 3& 2\end{array}\mid }{27}=\frac{0}{27}=0$

$z=\frac{\mid \begin{array}{ccc}3& -2& 0\\ 2& 0& -3\\ 1& 1& 3\end{array}\mid }{27}=\frac{27}{27}=1$

La solución del sistema para $a=0$ es:

$(x,y,z)=(1,0,1)$