Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Cuestión 1.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$:
$\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x-ay+a^{2}z=-1\\ -ax+a^{2}y-a^{3}z=2\end{array}$

a) [1 p.] Compruebe que el sistema nunca tiene solución única.
b) [1 p.] Determine para que valores de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones.
c) [0,5 p.] Si es posible, resuelvalo para el valor de $a=2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{nunca}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica.}}$

Para que un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas tenga solución única, su matriz de coeficientes ha de ser regular. Aquí no hace falta desarrollar el determinante: basta mirar las filas.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -a& a^2\\ -a& a^2& -a^3\end{array}\right)$

$-a\cdot (1,-a,a^2)=(-a,a^2,-a^3)$

La tercera fila es la segunda multiplicada por $-a$, así que hay dos filas proporcionales y el determinante se anula sea cual sea el parámetro.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\text{ para todo }a$

El rango de la matriz de coeficientes es como mucho dos, menor que el número de incógnitas, de modo que el sistema nunca puede ser compatible determinado.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones.}}$

Como el rango de $A$ no llega a tres, el sistema tendrá infinitas soluciones cuando los dos rangos coincidan y será incompatible cuando no lo hagan. Las dos primeras filas son independientes salvo que fueran proporcionales, lo que exigiría a la vez $-a=1$ y $a^2=1$, es decir $a=-1$.

Ahora bien, la tercera ecuación se obtiene de la segunda multiplicando por $-a$, así que solo será compatible con ella si los términos independientes guardan esa misma proporción.

$2=-a\cdot (-1)=a\Rightarrow a=2$

Para $a=2$ se tiene $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=2<3$ y el sistema es compatible indeterminado; para cualquier otro valor los rangos difieren y es incompatible.

El sistema tiene infinitas soluciones únicamente cuando $a=2$.



Sustituimos y descartamos la tercera ecuación, que es proporcional a la segunda. Tomamos $z=\lambda$ como parámetro.

$\{\begin{array}{l}x+y=2-\lambda \\ x-2y=-1-4\lambda \end{array}$

Restando la segunda de la primera desaparece $x$:

$3y=3+3\lambda \Rightarrow y=1+\lambda$

$x=2-\lambda -(1+\lambda )=1-2\lambda$

Comprobamos con $\lambda =0$: el punto $(1,1,0)$ cumple las tres ecuaciones originales.

Las soluciones son los infinitos puntos $(1-2\lambda ,1+\lambda ,\lambda )$, con $\lambda$ recorriendo los reales.