Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Cuestión 1.

Se quiere calcular un número de tres cifras con los siguientes datos:
i) La suma de sus tres cifras es 9.
ii) Si permutamos la cifra de las centenas con la cifra de las unidades, el número obtenido es el número inicial menos 99.
iii) Si permutamos la cifra de las decenas con la cifra de las unidades, el número obtenido es el número inicial mas 36.
a) [1,5 p.] Denotando por $x$ la cifra de las centenas, por $y$ la de las decenas y por $z$ la de las unidades, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas que represente la información dada en i), ii) y iii).
b) [1 p.] Calcule el número en cuestion.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Denotando}}\mathbf{\text{por}}\mathit{x}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cifra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{centenas,}}\mathbf{\text{por}}\mathit{y}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{decenas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{por}}\mathit{z}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{unidades,}}\mathbf{\text{plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnitas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{informaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{dada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{i),}}\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{iii).}}$

Por el valor posicional de las cifras, el número se escribe como $N=100x+10y+z$. Traducimos las tres condiciones.

La suma de las cifras es 9:

$x+y+z=9$

Al permutar centenas y unidades se obtiene $100z+10y+x$, que ha de ser el inicial menos 99:

$100z+10y+x=100x+10y+z-99\Rightarrow -99x+99z=-99\Rightarrow x-z=1$

Al permutar decenas y unidades se obtiene $100x+10z+y$, que ha de ser el inicial más 36:

$100x+10z+y=100x+10y+z+36\Rightarrow 9z-9y=36\Rightarrow -y+z=4$

$\{\begin{array}{l}x+y+z=9\\ x-z=1\\ -y+z=4\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cuesti}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Las dos últimas ecuaciones dan $x$ e $y$ en función de $z$, así que resolvemos por sustitución.

$x=z+1,y=z-4$

$(z+1)+(z-4)+z=9\Rightarrow 3z-3=9\Rightarrow z=4$

$x=5,y=0$

Comprobamos las tres condiciones sobre $N=504$: sus cifras suman 9, al permutar la primera con la última queda 405, que es $504-99$, y al permutar las dos últimas queda 540, que es $504+36$.

El número buscado es el 504.