Examen de Matemáticas II de Región de Murcia 2023 (convocatoria extraordinaria)

Cuestión 1.

Se quiere calcular un número de tres cifras con los siguientes datos:
i) La suma de sus tres cifras es 9.
ii) Si permutamos la cifra de las centenas con la cifra de las unidades, el número obtenido es el número inicial menos 99.
iii) Si permutamos la cifra de las decenas con la cifra de las unidades, el número obtenido es el número inicial mas 36.
a) [1,5 p.] Denotando por $x$ la cifra de las centenas, por $y$ la de las decenas y por $z$ la de las unidades, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas que represente la información dada en i), ii) y iii).
b) [1 p.] Calcule el número en cuestion.

Cuestión 2.

Se dice que una matriz cuadrada $A$ es 2-nilpotente si cumple que $A^2=0$.
a) [0,75 p.] Justifique razonadamente que una matriz 2-nilpotente nunca puede ser regular (o invertible).
b) [0,75 p.] Compruebe que la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}3& -9\\ 1& -3\end{array}\right)$ es 2-nilpotente.
c) [1 p.] Determine para que valores de $a$ y $b$ la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}6& a\\ 4& b\end{array}\right)$ es 2-nilpotente.

Cuestión 3.

Considere la función $f(x)=x{e}^{-x}$, definida para todo valor de $x\in \mathbb{R}$.
a) [0,75 p.] Calcule ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$.
b) [0,75 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función $f(x)$ y sus extremos relativos (máximos y/o mínimos).
c) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.

Cuestión 4.

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{1+{\cos }^{2}x}}$, definida para todo valor de $x\in \mathbb{R}$, donde ${\cos }^{2}x=(\cos x{)}^2$.
a) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.
b) [0,75 p.] Calcule la integral definida ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}f(x)dx}$.
c) [0,75 p.] Determine la primitiva de $f(x)$ que pasa por el punto $(\pi ,1)$.

Cuestión 5.

Los puntos $A=(6,-4,4)$ y $B=(12,-1,1)$ son dos vertices de un triangulo. El tercer vertice $C$ es la proyección ortogonal del vertice $A$ sobre la recta
$r:\{\begin{array}{l}x-2y=5\\ x+2z=5\end{array}$
a) [1,5 p.] Calcule las coordenadas del vertice $C$.
b) [0,5 p.] Determine si el triangulo $\widehat{ABC}$ tiene un ángulo recto en el vertice $A$.
c) [0,5 p.] Calcule el area del triangulo $\widehat{ABC}$.

Cuestión 6.

Considere el plano $\pi$ de ecuación $\pi :2x+ay-2z=-4$ y la recta $r$ dada por
$r:{\displaystyle \frac{x+1}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z-5}{-2}}$.
a) [1,25 p.] Estudie la posición relativa del plano $\pi$ y de la recta $r$ en función del parámetro $a$.
Se sabe que cuando $a=1$ la recta $r$ corta al plano $\pi$. Para ese valor de $a$:
b) [0,75 p.] Calcule el punto de corte de la recta $r$ y el plano $\pi$.
c) [0,5 p.] Calcule el ángulo que forman.

Cuestión 7.

En un cine hay 3 salas y un total de 250 espectadores repartidos de la siguiente manera: 100 espectadores en la sala A, 50 en la sala B y 100 en la sala C. Se sabe que la pelicula de la sala A gusta al 80% de los espectadores, la de la sala B al 20% de los espectadores y la de la sala C al 60% de los espectadores. A la salida de las tres peliculas se elige un espectador al azar. Calcule:
a) [0,25 p.] La probabilidad de que el espectador haya estado en la sala C.
b) [0,5 p.] La probabilidad de que le haya gustado la pelicula, sabiendo que ha estado en la sala C.
c) [0,5 p.] La probabilidad de que le haya gustado la pelicula y haya estado en la sala C.
d) [0,75 p.] La probabilidad de que le haya gustado la pelicula.
e) [0,5 p.] La probabilidad de que le haya gustado la pelicula o haya estado en la sala C.

Cuestión 8.

En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades y 2 decimales para los porcentajes.
El peso de los recien nacidos en la Region de Murcia sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ desconocidas. Se sabe que el 67% de los recien nacidos pesan menos de 3,464 kg y que el 1,5% de los recien nacidos pesan mas de 4,502 kg.
a) [0,5 p.] Cual es el porcentaje de recien nacidos cuyo peso esta comprendido entre 3,464 y 4,502 kg?
b) [1 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.
c) [1 p.] Calcule el porcentaje de recien nacidos que pesan menos de 2,33 kg.