Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Cuestión 3.

Considere la función $f(x)=x{e}^{-x}$, definida para todo valor de $x\in \mathbb{R}$.
a) [0,75 p.] Calcule ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$.
b) [0,75 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función $f(x)$ y sus extremos relativos (máximos y/o mínimos).
c) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.

Al sustituir aparece la indeterminación $\mathrm{\infty }\cdot 0$, que convertimos en un cociente para poder aplicar L'Hôpital.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}x{e}^{-x}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{e^x}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{e^x}}=0$

El límite vale $0$: la exponencial crece más deprisa que el polinomio y la recta $y=0$ es asíntota horizontal por la derecha.



Derivamos por la regla del producto y sacamos factor común la exponencial.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x}-x{e}^{-x}=(1-x)e^{-x}$

Como $e^{-x}>0$ siempre, el signo de la derivada lo marca el factor $(1-x)$, que se anula en $x=1$.



La función crece en $(-\mathrm{\infty },1)$ y decrece en $(1,+\mathrm{\infty })$; al pasar de creciente a decreciente hay un máximo relativo.

$f(1)=e^{-1}={\displaystyle \frac{1}{e}}\approx \mathrm{0,3679}$

La función alcanza un máximo relativo en el punto $M(1,{\displaystyle \frac{1}{e}})$ y no tiene mínimos.





El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, caso propio de integración por partes derivando el polinomio.

$u=x\Rightarrow du=dx,dv=e^{-x}dx\Rightarrow v=-e^{-x}$

$\int x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}+\int e^{-x}dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}+C$

$\int x{e}^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}+C$

Comprobamos derivando: ${[-(x+1)e^{-x}]}^{\mathrm{\prime }}=-e^{-x}+(x+1)e^{-x}=x{e}^{-x}$.