Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2025

Ejercicio 4A (2,5 puntos)

Se considera la función $f(x)=x^4+A{x}^3+x^2+Bx$.

(a) (1 punto) Calcula los valores de los parámetros $A$ y $B$ para que las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x=0$ y $x=1$ sean horizontales.

(b) (1,5 puntos) Con los valores de $A$ y $B$ que has obtenido en el apartado anterior, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.

Que la recta tangente en un punto sea horizontal significa que su pendiente es nula, y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada. Imponemos, pues, que la derivada se anule en las dos abscisas dadas.

$f(x)=x^4+A{x}^3+x^2+Bx$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+3A{x}^2+2x+B$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0\Rightarrow B=0$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 4+3A+2+B=0$

Sustituyendo el valor de $B$ ya obtenido:

$6+3A=0\Rightarrow A=-2$

Los parámetros pedidos son $A=-2$ y $B=0$, con lo que la función queda:

$f(x)=x^4-2x^3+x^2=x^2(x-1{)}^2$

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{has}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{estudia}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}$

La función es polinómica, luego su dominio es todo $\mathbb{R}$ y es derivable en todos sus puntos. El crecimiento se estudia con el signo de la derivada, así que la factorizamos para localizar sus raíces.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3-6x^2+2x=2x(2x^2-3x+1)$

$2x^2-3x+1=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9-8}}{4}}={\displaystyle \frac{3\pm 1}{4}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{1}{2}\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x(2x-1)(x-1)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1}{2}\\ x=1\end{array}$

Estos tres puntos dividen la recta real en cuatro intervalos. Se hace un estudio de signos evaluando la derivada en un punto de cada uno:

$\begin{array}{ccccc}& (-\mathrm{\infty },0)& (0,\frac{1}{2})& (\frac{1}{2},1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& -& +& -& +\\ f(x)& \searrow & \nearrow & \searrow & \nearrow \end{array}$

$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(-1)=-2\cdot (-3)\cdot (-2)=-12<0\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{2})\cdot (-\frac{3}{4})=\frac{3}{16}>0\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{4})=-\frac{3}{16}<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(2)=4\cdot 3\cdot 1=12>0\end{array}$

La función es creciente en $(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})\cup (1,+\mathrm{\infty })$ y decreciente en $(-\mathrm{\infty },0)\cup ({\displaystyle \frac{1}{2}},1)$.

De ese estudio se deduce además que hay mínimos relativos en $x=0$ y en $x=1$, donde la derivada pasa de negativa a positiva, y un máximo relativo en $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$, donde pasa de positiva a negativa:

$f(0)=0,f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{16}},f(1)=0$