Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Se pretende estudiar la intensidad de la señal eléctrica registrada por un electrodo implantado en un área del córtex cerebral. La intensidad de la señal $I(t)$ (en microvoltios) en función del tiempo $t$ (en milisegundos) después de un estímulo viene dada por la función

$I(t)=50t{e}^{-\mathrm{0,2}t},t\ge 0.$

a) Calcule en qué instante de tiempo la intensidad de la señal es máxima y cuál es esta intensidad. [1 punto]

b) Calcule una primitiva de la función $I(t)$, es decir, determine ${\displaystyle \int I(t)dt}$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{se}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{intensidad.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El máximo de una función derivable se busca entre los puntos que anulan su derivada, así que derivamos $I(t)$ aplicando la regla del producto.

$I^{\mathrm{\prime }}(t)=50e^{-\mathrm{0,2}t}+50t\cdot (-\mathrm{0,2})e^{-\mathrm{0,2}t}=50e^{-\mathrm{0,2}t}(1-\mathrm{0,2}t)$

$I^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 50e^{-\mathrm{0,2}t}(1-\mathrm{0,2}t)=0$

La exponencial no se anula nunca, de modo que el único punto crítico sale del segundo factor:

$1-\mathrm{0,2}t=0\Rightarrow t=5$

Estudiamos el signo de $I^{\mathrm{\prime }}(t)$ en el dominio $t\ge 0$. Como $50e^{-\mathrm{0,2}t}>0$ siempre, el signo lo marca $1-\mathrm{0,2}t$, que es positivo antes de $t=5$ y negativo después.



La función pasa de creciente a decreciente en $t=5$, luego ahí hay un máximo relativo que, por ser el único extremo del intervalo, es el máximo absoluto. Su valor es:

$I(5)=50\cdot 5\cdot e^{-\mathrm{0,2}\cdot 5}=250e^{-1}={\displaystyle \frac{250}{e}}\approx \mathrm{91,97}$

La intensidad de la señal es máxima a los $5\text{ ms}$ del estímulo y alcanza entonces los $\mathrm{91,97}\mu \text{V}$ aproximadamente.



El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, así que se resuelve por partes tomando el polinomio como $u$, que al derivarlo desaparece.

$\{\begin{array}{ll}u=50t& du=50dt\\ dv=e^{-\mathrm{0,2}t}dt& v=-5e^{-\mathrm{0,2}t}\end{array}$

$\int 50t{e}^{-\mathrm{0,2}t}dt=-250t{e}^{-\mathrm{0,2}t}+\int 250e^{-\mathrm{0,2}t}dt$

$\int 250e^{-\mathrm{0,2}t}dt=-1250e^{-\mathrm{0,2}t}+C$

$\int I(t)dt=-250t{e}^{-\mathrm{0,2}t}-1250e^{-\mathrm{0,2}t}+C=-250e^{-\mathrm{0,2}t}(t+5)+C$

Una primitiva de la intensidad es, por tanto, $-250e^{-\mathrm{0,2}t}(t+5)$, que se comprueba sin más que derivarla y recuperar $I(t)$.