Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Considere la función

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^4}}\mathrm{.}$

a) Represéntela gráficamente. [7 puntos]

b) Compruebe que $f(2)=f(-2)$. [1 punto]

c) Compruebe que no existe $c\in [-2,2]$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$. [1 punto]

d) ¿Hay una contradicción con la conclusión del teorema de Rolle? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Repres}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ntela}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente.}}\mathbf{\text{[7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Reunimos los rasgos que determinan la curva. El denominador se anula solo en el origen:

$\text{Dom}f=\mathbb{R}-\{0\}$

La función es par y siempre positiva, porque $x^4>0$ para todo $x\mathrm{\ne }0$:

$f(-x)={\displaystyle \frac{1}{(-x{)}^4}}={\displaystyle \frac{1}{x^4}}=f(x)$

de modo que la gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas. Estudiamos las asíntotas:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{1}{x^4}}=+\mathrm{\infty }\Rightarrow x=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^4}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

Y la monotonía:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-4x^{-5}={\displaystyle \frac{-4}{x^5}}$

que es positiva para $x<0$ y negativa para $x>0$: la función crece en $(-\mathrm{\infty },0)$ y decrece en $(0,+\mathrm{\infty })$. No hay cortes con los ejes, ya que $f(x)$ nunca se anula.





Basta sustituir, o recordar que la función es par.

$f(2)={\displaystyle \frac{1}{2^4}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$

$f(-2)={\displaystyle \frac{1}{(-2{)}^4}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$

Los dos valores coinciden: $f(2)=f(-2)=\frac{1}{16}$.



Igualamos la derivada a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-4}{x^5}}=0$

Una fracción solo se anula cuando lo hace su numerador, y aquí vale la constante $-4$, de modo que la ecuación no tiene solución. Además, en $x=0$ la derivada ni siquiera existe.

No hay ningún $c\in [-2,2]$ con $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Hay}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{contradicci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{conclusi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Rolle?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El teorema de Rolle exige tres hipótesis: que la función sea continua en el intervalo cerrado, derivable en el abierto y que tome el mismo valor en los extremos. La tercera se cumple, según el apartado b), pero las otras dos no: en $x=0$, que es un punto interior de $[-2,2]$, la función ni siquiera está definida, y ahí tiene una asíntota vertical.

No hay contradicción alguna. Al fallar las hipótesis, el teorema no puede aplicarse y su conclusión no tiene por qué darse.