Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Resuelva los siguientes apartados:

a) Considere la función $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Calcule los coeficientes $a$, $b$, $c$ y $d$, sabiendo que $f$ tiene un extremo relativo en el punto $P(0,1)$ y su gráfica tiene un punto de inflexión $Q(1,-1)$. Dé la expresión de la función $f(x)$. [1,75 puntos]

b) Resuelva el siguiente límite: ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos x}}}$ [0,75 puntos]

Hay cuatro coeficientes que determinar, así que hacen falta cuatro condiciones. Cada punto aporta dos: que la gráfica pase por él y la propiedad que se le atribuye —derivada nula en el extremo relativo, segunda derivada nula en el punto de inflexión—.

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx+c$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6ax+2b$

De las dos condiciones en $P(0,1)$ se despejan de golpe dos coeficientes:

$f(0)=1\Rightarrow d=1$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0\Rightarrow c=0$

Y de las dos condiciones en $Q(1,-1)$:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 6a+2b=0\Rightarrow b=-3a$

$f(1)=-1\Rightarrow a+b+c+d=-1\Rightarrow a+b+1=-1\Rightarrow a+b=-2$

$a+(-3a)=-2\Rightarrow -2a=-2\Rightarrow a=1\Rightarrow b=-3$

Comprobamos que en $x=0$ hay efectivamente un extremo relativo y no un punto de inflexión con tangente horizontal:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=6\cdot 1\cdot 0+2\cdot (-3)=-6\mathrm{\ne }0$

La función pedida es $f(x)=x^3-3x^2+1$, que tiene un máximo relativo en $P(0,1)$ y un punto de inflexión en $Q(1,-1)$.



Al sustituir aparece una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, ya que $e^0+e^0-2=0$ y $1-\cos 0=0$. Se aplica la regla de L'Hôpital.



Vuelve a salir $\frac{0}{0}$, de modo que se aplica L'Hôpital una segunda vez.



El límite pedido vale 2.