Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Calcule los coeficientes $a$, $b$, $c$ y $d$ del polinomio $p(x)=a+bx+c{x}^2+d{x}^3$, sabiendo que cumple todas las condiciones siguientes: [2 puntos]

• $p(x)$ tiene un máximo relativo en $x=-1$.

• La gráfica de $p(x)$ tiene un punto de inflexión en $(0,0)$.

• La recta tangente a la gráfica de $p(x)$ en $x=2$ tiene pendiente 3.

Cada una de las tres condiciones se traduce en una ecuación sobre el polinomio o sobre sus derivadas, así que empezamos calculándolas.

$p(x)=a+bx+c{x}^2+d{x}^3$

$p^{\mathrm{\prime }}(x)=b+2cx+3d{x}^2{p}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2c+6dx$

Primera condición: un extremo relativo en $x=-1$ obliga a que ahí se anule la derivada primera.

$p^{\mathrm{\prime }}(-1)=b-2c+3d=0$

Segunda condición: el punto de inflexión en $(0,0)$ da dos ecuaciones, porque el punto pertenece a la gráfica y además anula la derivada segunda.

$p(0)=a=0$

$p^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=2c=0\Rightarrow c=0$

Tercera condición: la pendiente de la recta tangente en $x=2$ es el valor de la derivada primera en ese punto.

$p^{\mathrm{\prime }}(2)=b+4c+12d=3$

Sustituimos $c=0$ en la primera y en la tercera ecuación y resolvemos el sistema que queda:

$b+3d=0\Rightarrow b=-3d$

$-3d+12d=3\Rightarrow 9d=3\Rightarrow d={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$b=-3\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}=-1$

Comprobamos que en $x=-1$ hay efectivamente un máximo y no un mínimo, mirando el signo de la derivada segunda:

$p(x)=-x+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\Rightarrow p^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2-1,p^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2x$

$p^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-2<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo en }x=-1$

Los coeficientes pedidos son $a=0$, $b=-1$, $c=0$ y $d=\frac{1}{3}$, es decir, $p(x)=\frac{x^3}{3}-x$.