Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función $f(x)=e^x(x^2-x+1)$. [1 punto]

b) Justifique si existe algún valor de $x$ tal que $f(x)=2$. [1 punto]

La función es producto de una exponencial y un polinomio, así que su dominio es todo $\mathbb{R}$ y es derivable en él. Derivamos con la regla del producto y sacamos factor común.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x(x^2-x+1)+e^x(2x-1)=e^x(x^2+x)=e^{x}x(x+1)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x(x+1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=0\end{array}$

La exponencial es siempre positiva, luego el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ lo decide la parábola $x(x+1)$, que abre hacia arriba:

$f^{\mathrm{\prime }}(-2)=2e^{-2}>0f^{\mathrm{\prime }}(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}{e}^{-1\mathrm{/}2}<0f^{\mathrm{\prime }}(1)=2e>0$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-1)$, decrece en $(-1,0)$ y vuelve a crecer en $(0,+\mathrm{\infty })$.

Como pasa de creciente a decreciente en $x=-1$, ahí hay un máximo relativo, y como pasa de decreciente a creciente en $x=0$, ahí hay un mínimo relativo:

$f(-1)=e^{-1}(1+1+1)={\displaystyle \frac{3}{e}}\approx \mathrm{1,1036}f(0)=e^0\cdot 1=1$



La función es continua en todo $\mathbb{R}$, así que basta encontrar un intervalo en cuyos extremos $f$ quede por debajo y por encima de $2$ y aplicar el teorema de los valores intermedios (o el de Bolzano a $f(x)-2$).

$f(0)=1<2$

$f(1)=e(1-1+1)=e\approx \mathrm{2,7183}>2$

Como $f$ es continua en $[0,1]$ y toma los valores $1$ y $e$ en sus extremos, alcanza todos los valores intermedios; en particular existe $c\in (0,1)$ con $f(c)=2$.

Además ese valor es único: en $(0,+\mathrm{\infty })$ la función es estrictamente creciente, y en el resto del dominio no llega a $2$, porque su mayor valor allí es el máximo relativo $\frac{3}{e}\approx \mathrm{1,1036}$.

Sí existe un valor de $x$ con $f(x)=2$, y es único: está en el intervalo $(0,1)$.