Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Cuestión 3.

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2}{x^2-2x+3}}$, definida para todo valor de $x\in \mathbb{R}$.

a) [0,5] Calcule ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$ y ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$.
b) [1,5] Determine los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la función $f(x)$ y calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos relativos).
c) [0,5] Justifique que la función alcanza sus extremos absolutos (máximo y mínimo absolutos) y calcule el valor de dichos extremos absolutos.

El denominador $x^2-2x+3$ tiene discriminante $4-12=-8<0$, luego no se anula nunca y es siempre positivo: la función es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$.



Numerador y denominador son polinomios del mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2-2x+3}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}}=2$

Los dos límites valen $2$, de modo que la recta $y=2$ es asíntota horizontal por ambos lados.



Derivamos por la regla del cociente y simplificamos el numerador.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{4x(x^2-2x+3)-2x^2(2x-2)}{(x^2-2x+3{)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{(4x^3-8x^2+12x)-(4x^3-4x^2)}{(x^2-2x+3{)}^2}}={\displaystyle \frac{-4x(x-3)}{(x^2-2x+3{)}^2}}$

El denominador es un cuadrado siempre positivo, así que el signo de la derivada lo marca $-4x(x-3)$, que se anula en $x=0$ y $x=3$.



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },0)\cup (3,+\mathrm{\infty })$ y crece en $(0,3)$. Al pasar la derivada de negativa a positiva hay un mínimo relativo, y de positiva a negativa un máximo relativo.

$f(0)={\displaystyle \frac{0}{3}}=0,f(3)={\displaystyle \frac{18}{9-6+3}}={\displaystyle \frac{18}{6}}=3$

Hay un mínimo relativo en el punto $(0,0)$ y un máximo relativo en el punto $(3,3)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5]}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{absolutos}}\mathbf{\text{(m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{absolutos)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{absolutos.}}$

La función es continua en todo $\mathbb{R}$ y en los dos infinitos tiende al valor finito $2$, de modo que los únicos candidatos a extremo absoluto son los extremos relativos y ese valor de la asíntota. Como además $2x^2\ge 0$ y el denominador es positivo, se cumple $f(x)\ge 0$ siempre.

$f(0)=0,f(3)=3,{\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}f(x)=2$

El menor de los tres valores es $0$ y el mayor es $3>2$, y ambos se alcanzan en puntos concretos.



La función alcanza su mínimo absoluto en $x=0$, donde vale $0$, y su máximo absoluto en $x=3$, donde vale $3$.