Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Galicia · 2021

3. Análisis:

a) Enuncie el teorema de Bolzano.
b) Obtenga los valores de $a$, $b$ y $c$ que hacen que $f(x)=a{x}^3+b{x}^2-3x+c$ cumpla $f(0)=1$ y tenga extremos relativos en $x=\pm 1$. Decir luego si los extremos son máximos o mínimos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Enuncie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Bolzano.}}$

Teorema de Bolzano: si una función $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y toma valores de signo contrario en sus extremos, es decir, si $f(a)\cdot f(b)<0$, entonces existe al menos un punto $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=0$.

Geométricamente significa que una curva continua que empieza por debajo del eje $x$ y acaba por encima —o al revés— tiene que cortarlo al menos una vez dentro del intervalo. El teorema asegura la existencia del corte, pero no dice que sea único ni permite localizarlo.



La primera condición da directamente el término independiente.

$f(0)=a\cdot 0+b\cdot 0-0+c=c=1\Rightarrow c=1$

Que haya extremos relativos en $x=\pm 1$ obliga a que la derivada se anule en esos dos puntos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+2bx-3$

$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(1)=3a+2b-3=0\\ f^{\mathrm{\prime }}(-1)=3a-2b-3=0\end{array}$

Sumando las dos ecuaciones se elimina $b$:

$6a-6=0\Rightarrow a=1$

y restándolas, $4b=0\Rightarrow b=0$.

$f(x)=x^3-3x+1$

Para clasificar los extremos usamos el signo de la segunda derivada.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-6<0\Rightarrow \text{en }x=-1\text{ hay un m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6>0\Rightarrow \text{en }x=1\text{ hay un m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$



Calculamos las ordenadas de los dos extremos:

$f(-1)=-1+3+1=3f(1)=1-3+1=-1$

Los valores buscados son $a=1$, $b=0$ y $c=1$; la función tiene un máximo relativo en $(-1,3)$ y un mínimo relativo en $(1,-1)$.