Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Galicia · 2022

3. Análisis

a) Obtenga las coordenadas de los vértices del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es tangente a la gráfica de $f(x)=x^2$ en el punto de abscisa $x=2$ y que, además, tiene un cateto de longitud 2 situado sobre el eje $X$. Dibuje la gráfica de $f$, la recta tangente y el triángulo.
b) Halle los valores de $a$ y $b$ que hacen que la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }x\le 1,\\ a{x}^2+bx& \text{si }x>1\end{array}$ sea derivable.

Construimos primero la recta tangente, que es la que contiene la hipotenusa.

$f(2)=2^2=4f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(2)=4$

$y-f(2)=f^{\mathrm{\prime }}(2)(x-2)\Rightarrow y-4=4(x-2)\Rightarrow y=4x-4$

El primer vértice es el punto en que la hipotenusa corta al eje $X$, ya que uno de los catetos está sobre ese eje.

$y=0\Rightarrow 4x-4=0\Rightarrow x=1\Rightarrow (1,0)$

El cateto sobre el eje mide 2, luego el segundo vértice está 2 unidades a la derecha, en el sentido en que la tangente sube y en el que queda el punto de tangencia.

$(1+2,0)=(3,0)$

El tercer vértice es el que cierra el ángulo recto: está en la vertical del anterior y sobre la hipotenusa.

$x=3\Rightarrow y=4\cdot 3-4=8\Rightarrow (3,8)$



Los vértices del triángulo rectángulo son $(1,0)$, $(3,0)$ y $(3,8)$, con el ángulo recto en $(3,0)$. El punto de tangencia $(2,4)$ queda, como debe, sobre la hipotenusa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hacen}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{derivable.}}$

Las dos ramas son derivables en su tramo, así que el único punto dudoso es el empalme, $x=1$. La derivabilidad exige primero continuidad.

$f(1)={\lim }_{x\to 1^{-}}1=1{\lim }_{x\to 1^{+}}(a{x}^2+bx)=a+b$

$a+b=1$

Añadimos ahora la igualdad de las derivadas laterales.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }x<1\\ 2ax+b& \text{si }x>1\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1^{-})=0f^{\mathrm{\prime }}(1^{+})=2a+b$

$2a+b=0$

Resolvemos el sistema restando la primera ecuación de la segunda:

$(2a+b)-(a+b)=0-1\Rightarrow a=-1\Rightarrow b=1-a=2$

La función es derivable únicamente para $a=-1$ y $b=2$; en ese caso la segunda rama es $-x^2+2x$, cuyo valor y cuya pendiente en $x=1$ son 1 y 0.