Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sea la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2& \text{si }x\le 1\\ (x-1{)}^3& \text{si }x>1\end{array}$

a) (0.5 puntos) Estudie su continuidad en $[-4,4]$.
b) (1 punto) Analice su derivabilidad y crecimiento en $[-4,4]$.
c) (1 punto) Determine si la función $g(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ está definida, es continua y es derivable en $x=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{en}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

Cada trozo es un polinomio, continuo en su intervalo, así que el único punto a estudiar es el empalme.

${\lim }_{x\to 1^{-}}(x-1{)}^2=0=f(1);{\lim }_{x\to 1^{+}}(x-1{)}^3=0$

Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función, luego $f$ es continua en todo $[-4,4]$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Analice}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{derivabilidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{en}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

Derivamos cada trozo y comparamos las derivadas laterales en el empalme.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-1)\text{ si }x<1;f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x-1{)}^2\text{ si }x>1$

${\lim }_{x\to 1^{-}}2(x-1)=0={\lim }_{x\to 1^{+}}3(x-1{)}^2$

Las dos coinciden y valen 0, así que $f$ es derivable en todo el intervalo, con $f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$.



El signo de la derivada es el de $x-1$ a la izquierda y positivo a la derecha, porque ahí es un cuadrado.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\text{ en }[-4,1);f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\text{ en }(1,4]$

La función decrece en $[-4,1)$ y crece en $(1,4]$, con un mínimo en $x=1$.



Del apartado anterior sabemos que $f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$ existe y que los dos trozos de $g$ tienden a ese mismo valor, así que $g$ está definida y es continua en $x=1$. Falta ver si es derivable, para lo que derivamos otra vez.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2\text{ si }x<1;g^{\mathrm{\prime }}(x)=6(x-1)\text{ si }x>1$

$g^{\mathrm{\prime }}(1^{-})=2;g^{\mathrm{\prime }}(1^{+})=0$

Las derivadas laterales no coinciden, de modo que $g$ es continua pero no derivable en $x=1$.