Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ la función definida por

$f(x)=a+b\cos (x)+c\mathrm{sen}(x)\mathrm{.}$

Halle $a$, $b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ a la recta $y=1$ como recta tangente, y que la recta $y=x-1$ corta a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=0$. [2,5 puntos]

Los datos del enunciado se traducen en tres condiciones sobre $f$ y su derivada, que forman un sistema en las tres incógnitas. Que la recta $y=1$ sea tangente en $x=\frac{\pi }{2}$ significa dos cosas: que la gráfica pasa por ese punto y que la pendiente allí es la de la recta, que es nula.

$f(x)=a+b\cos (x)+c\mathrm{sen}(x)\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=-b\mathrm{sen}(x)+c\cos (x)$

De la condición de contacto en $x=\frac{\pi }{2}$:

$f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=a+b\cdot 0+c\cdot 1=a+c=1$

De la condición sobre la pendiente en ese mismo punto:

$f^{\mathrm{\prime }}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=-b\cdot 1+c\cdot 0=-b=0\Rightarrow b=0$

La tercera condición dice que la gráfica y la recta $y=x-1$ se cortan en $x=0$, es decir, que ambas toman ahí el mismo valor:

$f(0)=a+b\cos (0)+c\mathrm{sen}(0)=a+b$

$a+b=0-1=-1\Rightarrow a=-1$

Sustituyendo en la primera ecuación:

$-1+c=1\Rightarrow c=2$

Los valores pedidos son $a=-1$, $b=0$ y $c=2$, de modo que la función es $f(x)=-1+2\mathrm{sen}(x)$.