Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Sea $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x)=x{(\ln (x))}^2$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

a) Calcule, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,25 puntos]

b) Calcule, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen,}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{(abscisas}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtienen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanzan).}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es producto de $x$ por el cuadrado de un logaritmo, ambos derivables en $(0,+\mathrm{\infty })$. Derivamos con la regla del producto y sacamos factor común.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={(\ln (x))}^2+x\cdot 2\ln (x)\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}={(\ln (x))}^2+2\ln (x)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln (x)(\ln (x)+2)$

$\ln (x)=0\Rightarrow x=1;\ln (x)=-2\Rightarrow x=e^{-2}$

Llamando $u=\ln (x)$, el producto $u(u+2)$ es positivo fuera de $[-2,0]$ y negativo dentro. Como el logaritmo es creciente, eso se traduce en el siguiente reparto de signos:



En $x=e^{-2}$ la función pasa de crecer a decrecer y en $x=1$ de decrecer a crecer:

$f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(e^{-2}\right)=e^{-2}{(-2)}^2=4e^{-2}\approx \mathrm{0,5413}$

$f(1)=1\cdot {(\ln 1)}^2=0$

Hay un máximo relativo en $x=e^{-2}$, de valor $4e^{-2}\approx \mathrm{0,54}$, y un mínimo relativo en $x=1$, de valor $0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existen,}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{absolutos}}\mathbf{\text{(abscisas}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtienen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanzan).}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El dominio $(0,+\mathrm{\infty })$ es abierto y no acotado, de modo que un extremo relativo solo será absoluto si el comportamiento en los bordes no lo supera. Estudiamos los dos límites.

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }x{(\ln (x))}^2=0}$

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x{(\ln (x))}^2=+\mathrm{\infty }}$

Por la derecha la función crece sin cota, así que no hay máximo absoluto: el máximo relativo de $4e^{-2}$ queda superado en cuanto $x$ es suficientemente grande.

Para el mínimo basta observar que $x>0$ y que ${(\ln (x))}^2\ge 0$, luego $f(x)\ge 0$ en todo el dominio, y la igualdad solo se da en $x=1$. El valor $0$ del borde izquierdo no se alcanza, porque $x=0$ no pertenece al dominio.

La función alcanza su mínimo absoluto en $x=1$, donde vale $0$, y no tiene máximo absoluto.