Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

a) [1 punto] Sea la función $f(x)=a{x}^3-2x^2-x+b$ con $a,b\in \mathbb{R}$. Determine razonadamente los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de la función pase por el punto $(1,2)$ y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto sea 1.

b) [1,5 puntos] Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-ax+1& x<0\\ b{e}^x& x\ge 0\end{array}$, con $a,b\in \mathbb{R}$. Determine razonadamente los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en $x=0$.

Traducimos a ecuaciones las dos condiciones. La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en él.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2-4x-1$

i) La gráfica pasa por $(1,2)$, luego $f(1)=2$:

$a-2-1+b=2\Rightarrow a+b=5$

ii) La pendiente en $x=1$ vale $1$, luego $f^{\mathrm{\prime }}(1)=1$:

$3a-4-1=1\Rightarrow 3a=6\Rightarrow a=2$

Llevando $a=2$ a la primera ecuación, $2+b=5\Rightarrow b=3$.

Los valores pedidos son $a=2$ y $b=3$, es decir, $f(x)=2x^3-2x^2-x+3$.



Cada rama es continua y derivable donde está definida, por ser un polinomio y una exponencial, de modo que solo hay que imponer las condiciones en el punto de empalme.

i) Continuidad en $x=0$: los dos límites laterales han de coincidir con el valor de la función.

${\lim }_{x\to 0^{-}}(x^2-ax+1)=1,{\lim }_{x\to 0^{+}}b{e}^x=b=f(0)$

$b=1$

ii) Derivabilidad en $x=0$: las derivadas laterales han de coincidir.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2x-a& x<0\\ b{e}^x& x>0\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})=-a,f^{\mathrm{\prime }}(0^{+})=b=1$

$-a=1\Rightarrow a=-1$

La función es continua y derivable en $x=0$ para $a=-1$ y $b=1$. Conviene recordar el orden: la continuidad es condición necesaria para la derivabilidad, así que primero se impone aquella y después esta.