Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Aragón · 2023

Para la siguiente función

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x^2-2x+1}}$

a) Indique el dominio de definición y estudie su monotonía. [1 punto]

b) Estudie la curvatura de la función (concavidad $=\cap$ y convexidad $=\cup$) y la existencia de puntos de inflexión, y calcúlelos si existen. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{estudie}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es una función racional, así que su dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x^2-2x+1=(x-1{)}^2=0\Rightarrow x=1\Rightarrow \text{ Dom}f=\mathbb{R}-\{1\}$

La monotonía se estudia con el signo de la primera derivada, que se calcula con la regla del cociente escribiendo antes el denominador como cuadrado perfecto.

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{(x-1{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(x-1{)}^2-x^2\cdot 2(x-1)}{(x-1{)}^4}}={\displaystyle \frac{2x(x-1)-2x^2}{(x-1{)}^3}}={\displaystyle \frac{-2x}{(x-1{)}^3}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x=0\Rightarrow x=0$

Los puntos que separan los intervalos de signo constante son el que anula la derivada, $x=0$, y el que anula su denominador, $x=1$, que además está fuera del dominio. Evaluamos la derivada en un punto de cada intervalo:

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{2}{-8}}<0;f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{-1}{-\frac{1}{8}}}=8>0;f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{-4}{1}}<0$



La función es decreciente en $(-\mathrm{\infty },0)$ y en $(1,+\mathrm{\infty })$, y creciente en $(0,1)$. Como pasa de decrecer a crecer, en $x=0$ hay un mínimo relativo, que vale $f(0)=0$.



La curvatura la da el signo de la segunda derivada: donde es positiva la función es convexa $(\cup )$ y donde es negativa, cóncava $(\cap )$. Escribimos la primera derivada como potencia para derivarla con más comodidad.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x(x-1{)}^{-3}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2(x-1{)}^{-3}+6x(x-1{)}^{-4}={\displaystyle \frac{-2(x-1)+6x}{(x-1{)}^4}}={\displaystyle \frac{4x+2}{(x-1{)}^4}}$

El denominador es una potencia par, luego es positivo en todo el dominio y el signo de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ depende solo del numerador.

$4x+2=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$x<-{\displaystyle \frac{1}{2}}:f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow f\text{es c}\acute{\text{o}}\text{ncava}(\cap )$

$x>-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x\mathrm{\ne }1):f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ es convexa }(\cup )$

En $x=-\frac{1}{2}$ la segunda derivada se anula y cambia de signo, de modo que hay un punto de inflexión. Calculamos su ordenada:

$f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{\frac{1}{4}}{{(-\frac{1}{2}-1)}^2}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$

En $x=1$ no hay punto de inflexión aunque la curvatura no esté definida allí, porque el punto no pertenece al dominio de la función.

La función es cóncava en $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$ y convexa en $(-\frac{1}{2},1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$, con un único punto de inflexión en $(-\frac{1}{2},\frac{1}{9})$.