Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Considere la función $f(x)=ax+\mathrm{sen}(x)$, en función de la constante real $a$, con $x\in [0,2\pi ]$.

a) Determine la constante para que la función valga 0 cuando $x=\pi \mathrm{/}2$. [0,5 puntos]

b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ para el valor de $a$ calculado. [1 punto]

c) Calcule una primitiva de $f(x)$. [1 punto]

Basta imponer la condición en la expresión de la función y despejar el parámetro.

$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=a\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\displaystyle \frac{a\pi }{2}}+1=0$

${\displaystyle \frac{a\pi }{2}}=-1\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}\approx -\mathrm{0,6366}$

La constante pedida es $a=-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}$.



Con ese valor la función es $f(x)=-{\displaystyle \frac{2x}{\pi }}+\mathrm{sen}x$ en $[0,2\pi ]$. La monotonía la da el signo de la derivada primera, así que la calculamos y buscamos sus ceros.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}+\cos x$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \cos x={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\approx \mathrm{0,6366}$

En el intervalo $[0,2\pi ]$ el coseno toma ese valor dos veces, una en cada mitad, y la segunda es simétrica de la primera respecto de $2\pi$:

$x_1=\arccos {\displaystyle \frac{2}{\pi }}\approx \mathrm{0,8807},x_2=2\pi -x_1\approx \mathrm{5,4025}$

Estudiamos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ en los tres tramos que determinan.

$f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{0,3})=\cos (\mathrm{0,3})-\mathrm{0,6366}\approx \mathrm{0,3187}>0$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=\cos (2)-\mathrm{0,6366}\approx -\mathrm{1,0528}<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(6)=\cos (6)-\mathrm{0,6366}\approx \mathrm{0,3236}>0$



La función crece en $[0;\mathrm{0,8807})\cup (\mathrm{5,4025};2\pi ]$ y decrece en $(\mathrm{0,8807};\mathrm{5,4025})$; en $x_1$ hay un máximo relativo y en $x_2$ un mínimo relativo.



La integral es inmediata: se descompone en la de un polinomio y la de un seno.

$\int (-{\displaystyle \frac{2x}{\pi }}+\mathrm{sen}x)dx=-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}\int xdx+\int \mathrm{sen}xdx$

$=-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-\cos x+C=-{\displaystyle \frac{x^2}{\pi }}-\cos x+C$

Una primitiva de $f$ es $F(x)=-{\displaystyle \frac{x^2}{\pi }}-\cos x$.