Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{1-\cos (x)}{x}}$.

a) Calcule la derivada primera. [0,5 puntos]

b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=\pi$. [0,5 puntos]

c) Calcule ${\lim }_{x\to 0}f(x)$. [1 punto]

d) Calcule las asíntotas. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}\mathbf{\text{primera.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x\cdot x-(1-\cos x)\cdot 1}{x^2}}={\displaystyle \frac{x\mathrm{sen}x+\cos x-1}{x^2}}$



La pendiente de la tangente es el valor de la derivada en ese punto, y en $\pi$ el seno se anula y el coseno vale $-1$.

$m=f^{\mathrm{\prime }}(\pi )={\displaystyle \frac{\pi \cdot 0+(-1)-1}{{\pi }^2}}={\displaystyle \frac{-2}{{\pi }^2}}\approx -\mathrm{0,2026}$



Aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$, que resolvemos con la regla de L'Hôpital.



$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El único punto fuera del dominio es $x=0$, y por el apartado anterior el límite ahí es finito: la discontinuidad es evitable y no hay asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. El numerador está acotado entre $0$ y $2$ mientras el denominador crece sin límite:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1-\cos x}{x}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal en los dos infinitos no puede haber oblicua. La única asíntota de $f$ es $y=0$.