Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2024

Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

a) $f(x)={\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^{\cos x}$ [1,25 puntos]

b) $g(x)={\displaystyle \frac{x^2+4x+1}{(x+2{)}^2}}$ [1,25 puntos]

Es una potencia con base y exponente variables, así que derivamos logarítmicamente. La función está definida para $x>0$.

$\ln f(x)=\cos x\cdot \ln {\displaystyle \frac{1}{x}}=-\cos x\cdot \ln x$

Derivamos los dos miembros:

${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}=\sin x\cdot \ln x-\cos x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^{\cos x}(\sin x\cdot \ln x-{\displaystyle \frac{\cos x}{x}})$



Aplicamos la regla del cociente:

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(2x+4)(x+2{)}^2-(x^2+4x+1)\cdot 2(x+2)}{(x+2{)}^4}}$

Sacamos $(x+2)$ como factor común del numerador y simplificamos:

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(2x+4)(x+2)-2(x^2+4x+1)}{(x+2{)}^3}}={\displaystyle \frac{2x^2+8x+8-2x^2-8x-2}{(x+2{)}^3}}$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{6}{(x+2{)}^3}}$

Las derivadas pedidas son $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\left(\frac{1}{x}\right)}^{\cos x}(\sin x\ln x-\frac{\cos x}{x})$ y $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{6}{(x+2{)}^3}}$.