Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2023

Se considera la función $f(x)=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{6}}}$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[7,11]$ y derivable en $(7,11)$. [1,25 puntos]

b) Compruebe que existe un valor $\alpha \in (7,11)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=0$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">7</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">11</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{derivable}}\mathbf{\text{en}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">7</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">11</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

La raíz cuadrada es continua donde su radicando es no negativo y derivable donde es estrictamente positivo, así que basta estudiar el signo de

$g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}-\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{6}}$

Cuando $x$ recorre $[7,11]$, el argumento $\frac{\pi x}{6}$ recorre $[\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}]$, es decir, el tercer y el cuarto cuadrante, donde el seno es negativo o nulo. Su valor máximo en ese tramo se alcanza en los dos extremos y vale

$\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}=\sin {\displaystyle \frac{11\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Por tanto $\sin \frac{\pi x}{6}\le -\frac{1}{2}$ en todo $[7,11]$ y

$g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}-\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{6}}\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=1>0$

El radicando es estrictamente positivo en todo el intervalo cerrado, de modo que $f$ es continua en $[7,11]$ y derivable en $(7,11)$ —de hecho, en todo el cerrado—, con

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-\frac{\pi }{6}\cos \frac{\pi x}{6}}{2\sqrt{\frac{1}{2}-\sin \frac{\pi x}{6}}}}$



El resultado que se aplica es el teorema de Rolle: si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$, existe algún $\alpha \in (a,b)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=0$.

Las dos primeras hipótesis están probadas en el apartado anterior. Comprobamos la tercera:

$f(7)=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}}=1$

$f(11)=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-\sin {\displaystyle \frac{11\pi }{6}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}}=1$

Se cumplen las tres, así que existe $\alpha \in (7,11)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=0$. Anulando el numerador de la derivada se identifica: $\cos \frac{\pi x}{6}=0$ en $\frac{\pi x}{6}=\frac{3\pi }{2}$, es decir, en $\alpha =9$, donde la función alcanza su máximo, $f(9)=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.