Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2021

Se considera la función $f(x)=\sqrt{x+\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}}$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[1,3]$. [0,75 puntos]

b) Demuestre que existen dos valores $\alpha \in (1,2)$ y $\beta \in (2,3)$ tales que $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=f^{\mathrm{\prime }}(\beta )=0$. Enuncie el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifique su uso. [1,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

La raíz cuadrada es continua donde su radicando es no negativo, así que estudiamos

$g(x)=x+\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}$

Como el seno nunca baja de $-1$,

$g(x)=x+\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}\ge x-1$

y para $x>1$ el segundo miembro es positivo. En el extremo izquierdo se comprueba directamente:

$g(1)=1+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=1+1=2>0$

de modo que el radicando es positivo en todo $[1,3]$ y $f$ es continua allí. Por el mismo motivo es derivable en $(1,3)$, con

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}}{2\sqrt{x+\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}}}}$



El resultado que se aplica es el teorema de Rolle: si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$, existe algún punto interior en el que la derivada se anula.

Calculamos la función en los tres puntos que separan los dos subintervalos:

$f(1)=\sqrt{1+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

$f(2)=\sqrt{2+\sin \pi }=\sqrt{2+0}=\sqrt{2}$

$f(3)=\sqrt{3+\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$

Los tres valores coinciden, así que aplicamos el teorema dos veces:

i) En $[1,2]$ la función es continua, derivable en $(1,2)$ y $f(1)=f(2)=\sqrt{2}$, luego existe $\alpha \in (1,2)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )=0$.

ii) En $[2,3]$ se cumplen las mismas hipótesis y $f(2)=f(3)=\sqrt{2}$, luego existe $\beta \in (2,3)$ con $f^{\mathrm{\prime }}(\beta )=0$.

Los dos puntos son distintos, porque pertenecen a intervalos que solo comparten $x=2$, donde la derivada no se anula:

$f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{1+\frac{\pi }{2}\cos \pi }{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1-\frac{\pi }{2}}{2\sqrt{2}}}\mathrm{\ne }0$

Existen, pues, los dos valores pedidos.