Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Calcular los valores de $a$, $b$ y $c$ para los cuales la función $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ tiene extremos relativos en $x=0$ y $x=2$ y además la gráfica de $f(x)$ corta al eje de abscisas para $x=1$. [2 puntos]

Las tres condiciones dan tres ecuaciones. Las dos primeras hablan de extremos, así que empezamos por la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b$

En un extremo relativo la derivada se anula:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=b=0$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=12+4a+b=0$

Sustituyendo ya $b=0$ en la segunda:

$12+4a=0\Rightarrow a=-3$

La tercera condición dice que la gráfica pasa por el punto $(1,0)$:

$f(1)=1+a+b+c=0\Rightarrow 1-3+0+c=0\Rightarrow c=2$

Queda por comprobar que en los dos puntos hay realmente extremos y no inflexiones. Con los valores obtenidos,

$f(x)=x^3-3x^2+2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-6$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-6<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)=6>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$

Los valores pedidos son $a=-3$, $b=0$ y $c=2$.