Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

a) Determinar $a$ y $b$ de modo que las funciones $f(x)=x^2-a$ y $g(x)=(x-b)e^x$ tomen el mismo valor en un punto en el que ambas tengan un extremo relativo. [1 punto]

b) Demostrar que la función $f(x)=2x+\mathrm{sen}x$ solo se anula en el punto $x=0$. [1 punto]

Hay dos condiciones que imponer: que las dos funciones tengan su extremo en la misma abscisa y que allí coincidan sus valores. Empezamos localizando los extremos de cada una.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x=0\Rightarrow x=0$

La parábola tiene su único extremo, un mínimo, en $x=0$, y esa posición no depende de $a$.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x+(x-b)e^x=e^x(x-b+1)$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x-b+1=0\Rightarrow x=b-1$

Para que los dos extremos estén en el mismo punto:

$b-1=0\Rightarrow b=1$

Imponemos ahora que los valores coincidan en $x=0$:

$f(0)=-ag(0)=(0-1)e^0=-1$

$-a=-1\Rightarrow a=1$

Comprobamos que en $x=0$ hay realmente un extremo de $g$: como $e^x>0$, el signo de $g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{x}x$ es el de $x$, negativo antes y positivo después, luego se trata de un mínimo, igual que en $f$.

Los valores pedidos son $a=1$ y $b=1$, y el punto común es $(0,-1)$.



Hay que probar dos cosas: que se anula en $x=0$, que es inmediato, y que no lo hace en ningún otro punto, que sale de la monotonía.

$f(0)=2\cdot 0+\mathrm{sen}0=0$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2+\cos x$

El coseno está siempre comprendido entre $-1$ y $1$, de modo que

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2+\cos x\ge 2-1=1>0\text{para todo }x\in \mathbb{R}$

La derivada es estrictamente positiva en todo $\mathbb{R}$, así que $f$ es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva: no puede tomar el valor $0$ dos veces.

Como se anula en $x=0$ y no puede hacerlo en ningún otro punto, $x=0$ es su único cero.