Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Escriba, si existen, las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\exp (-x)$ en los puntos de abscisa $x=0$ y $x=-1$. [2 puntos]

Como aparece un valor absoluto, lo primero es escribir la función a trozos partiendo por el punto en que cambia de signo lo que hay dentro:

$f(x)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }{e}^{-x}=\{\begin{array}{ll}-x{e}^{-x}& \text{si }x<0\\ x{e}^{-x}& \text{si }x\ge 0\end{array}$

Se deriva cada rama por separado, aplicando la regla del producto:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}-e^{-x}+x{e}^{-x}=e^{-x}(x-1)& \text{si }x<0\\ e^{-x}-x{e}^{-x}=e^{-x}(1-x)& \text{si }x>0\end{array}$

En $x=0$ hay que comprobar si la función es derivable, porque solo entonces existe recta tangente. Se calculan las dos derivadas laterales:

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})=e^0(0-1)=-1,f^{\mathrm{\prime }}(0^{+})=e^0(1-0)=1$

Las derivadas laterales existen pero no coinciden, luego $f$ no es derivable en $x=0$: la gráfica presenta ahí un punto anguloso y no hay recta tangente en $x=0$.

En $x=-1$ se usa la rama de la izquierda, donde la función sí es derivable.

$f(-1)=\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }{e}^1=e$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=e^1(-1-1)=-2e$

Con el punto $(-1,e)$ y la pendiente $-2e$:

$y-e=-2e(x+1)$

$y=-2ex-2e+e=-2ex-e$



En $x=0$ no existe recta tangente, y en $x=-1$ la recta tangente es $y=-2ex-e$.