Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Una empresa inicia su cotización en bolsa, con un precio de 5 euros la acción. A partir de ahí, el precio de cada acción se modelizó en función del tiempo pasado en bolsa desde ese momento inicial y durante el primer mes. Se obtuvo la siguiente función $f(t)={\displaystyle \frac{5t^2+2t+5}{t^2+1}}$, con $t\in [0,30]$.

a) Si la empresa necesita que el valor de cada acción llegue a $\mathrm{6,5}$ euros para que se alcancen los objetivos previstos, ¿se alcanzan en el intervalo estudiado? [1 punto]

b) Estudie los intervalos en los que el precio de cada acción sube y los intervalos donde baja. [0,75 puntos]

c) ¿Cuál sería el valor de la acción si esta función modelizase el valor de las acciones a lo largo de toda la vida de la empresa? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{acci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{llegue}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{6,5}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcancen}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{objetivos}}\mathbf{\text{previstos,}}\mathbf{\text{¿se}}\mathbf{\text{alcanzan}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{estudiado?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Se plantea la ecuación $f(t)=\mathrm{6,5}$ y se estudia si tiene alguna solución dentro de $[0,30]$:

$\frac{5t^2+2t+5}{t^2+1}=\mathrm{6,5}$

Como el denominador no se anula nunca, se puede multiplicar por él sin perder soluciones.





$5t^2+2t+5=\mathrm{6,5}(t^2+1)\Rightarrow \mathrm{1,5}{t}^2-2t+\mathrm{1,5}=0$

El discriminante de esa ecuación de segundo grado es

$\mathrm{\Delta }=(-2{)}^2-4\cdot \mathrm{1,5}\cdot \mathrm{1,5}=4-9=-5<0$

luego no tiene ninguna raíz real: el precio nunca llega a 6,5 €, ni en el intervalo estudiado ni fuera de él. La empresa no alcanza los objetivos.

Se ve mejor todavía escribiendo la función como

$f(t)=\frac{5(t^2+1)+2t}{t^2+1}=5+\frac{2t}{t^2+1}$

y observando que, por la desigualdad $t^2+1\ge 2t$ (que es $(t-1{)}^2\ge 0$), la fracción vale como mucho 1. El precio máximo posible es de 6 €, y se alcanza justo en $t=1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{acci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sube}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{baja.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se deriva la función, cómodamente en la forma $f(t)=5+2t(t^2+1{)}^{-1}$:

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{2(t^2+1)-2t\cdot 2t}{(t^2+1{)}^2}=\frac{2-2t^2}{(t^2+1{)}^2}=\frac{2(1-t)(1+t)}{(t^2+1{)}^2}$

El denominador es siempre positivo, así que el signo lo pone el numerador. En el intervalo de estudio $t\in [0,30]$ el factor $1+t$ es positivo, de modo que

$f^{\mathrm{\prime }}(t)>0⟺t<1f^{\mathrm{\prime }}(t)<0⟺t>1$

El precio de la acción sube en $(0,1)$ y baja en $(1,30)$. En $t=1$ hay un máximo, con $f(1)=6$ €: la acción sube durante el primer día y a partir de ahí no deja de caer.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{acci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{modelizase}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{acciones}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{toda}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vida}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se trata de calcular el límite en el infinito, que es la asíntota horizontal de la curva. Al ser un cociente de polinomios del mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales:

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}\frac{5t^2+2t+5}{t^2+1}=\frac{5}{1}=5$

o, con la forma reducida, ${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}(5+\frac{2t}{t^2+1})=5+0=5$.

A largo plazo el valor de cada acción tendería a estabilizarse en $5$ €, el mismo precio con el que la empresa salió a bolsa. El modelo describe, por tanto, un repunte inicial hasta 6 € que se desinfla poco a poco hasta volver al punto de partida.