Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^3+1}{x+2}}$,

a) Demuestre que $f(x)$ tiene al menos un punto crítico en cada uno de los siguientes intervalos: $(-3,-\mathrm{2,5})$, $(-1,0)$ y $(0,1)$. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que $f(x)$ tiene exactamente 3 puntos críticos, uno en cada intervalo del apartado anterior, indique si son máximos, mínimos o puntos de inflexión. [0,75 puntos]

Los puntos críticos son los que anulan la derivada, así que empezamos derivando el cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3x^2(x+2)-(x^3+1)}{(x+2{)}^2}}={\displaystyle \frac{3x^3+6x^2-x^3-1}{(x+2{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x^3+6x^2-1}{(x+2{)}^2}}$

El denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio de la función, que es $\mathbb{R}-\{-2\}$. Por tanto la derivada se anula justo donde lo hace el numerador, y basta estudiar el polinomio

$g(x)=2x^3+6x^2-1$

que es continuo en toda la recta real por ser polinómico. Se aplica el teorema de Bolzano en cada uno de los tres intervalos, ninguno de los cuales contiene al $-2$.

$g(-3)=-54+54-1=-1<0g(-\mathrm{2,5})=-\mathrm{31,25}+\mathrm{37,5}-1=\mathrm{5,25}>0$

$g(-1)=-2+6-1=3>0g(0)=-1<0$

$g(0)=-1<0g(1)=2+6-1=7>0$

En los tres casos la función continua $g$ toma valores de signo contrario en los extremos, luego por el teorema de Bolzano se anula al menos una vez dentro de cada intervalo. Y donde se anula $g$ se anula $f^{\mathrm{\prime }}$, porque el denominador no lo hace nunca.

Queda demostrado que $f$ tiene al menos un punto crítico en $(-3,-\mathrm{2,5})$, otro en $(-1,0)$ y otro en $(0,1)$.



Llamamos $x_1\in (-3,-\mathrm{2,5})$, $x_2\in (-1,0)$ y $x_3\in (0,1)$ a los tres puntos críticos, cuyos valores aproximados son $-\mathrm{2,94}$, $-\mathrm{0,44}$ y $\mathrm{0,38}$. Como el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ coincide con el de $g$, los valores ya calculados en el apartado anterior dan el signo de la derivada en cada tramo, sin más que añadir el punto $x=-2$, que no pertenece al dominio.

$f^{\mathrm{\prime }}(-3)<0,f^{\mathrm{\prime }}(-\mathrm{2,5})>0,f^{\mathrm{\prime }}(-1)>0,f^{\mathrm{\prime }}(0)<0,f^{\mathrm{\prime }}(1)>0$



La derivada pasa de negativa a positiva en $x_1$, de positiva a negativa en $x_2$ y otra vez de negativa a positiva en $x_3$. En los tres hay cambio de signo, de manera que ninguno puede ser un punto de inflexión de tangente horizontal.

$x_1\approx -\mathrm{2,94}\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$

$x_2\approx -\mathrm{0,44}\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}$

$x_3\approx \mathrm{0,38}\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$

Los tres puntos críticos son, por orden, un mínimo relativo, un máximo relativo y un mínimo relativo. Conviene notar que el mínimo de la rama izquierda vale $f(x_1)\approx \mathrm{25,97}$ y el máximo de la rama derecha, $f(x_2)\approx \mathrm{0,59}$: son extremos relativos de cada rama, no absolutos, porque la asíntota vertical $x=-2$ separa la gráfica en dos trozos independientes.