Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Dada la siguiente función:

$f(x)=x^2\cdot e^{1-x}$

a) Averiguar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1,25 puntos]

b) Estudiar la tendencia de $f(x)$ cuando se aproxima a $\pm \mathrm{\infty }$. ¿Qué se puede afirmar en relación a la asíntota horizontal de $f(x)$? [0,75 puntos]

La función es producto de un polinomio por una exponencial, de modo que su dominio es todo $\mathbb{R}$ y es derivable en todo punto. El crecimiento lo decide el signo de la derivada primera, que se calcula con la regla del producto y se deja factorizada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{e}^{1-x}+x^2{e}^{1-x}\cdot (-1)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{1-x}(2x-x^2)=x(2-x)e^{1-x}$

La exponencial es siempre positiva, así que el signo de la derivada es el del producto $x(2-x)$, que se anula en los puntos críticos.

$x(2-x)=0\Rightarrow x=0,x=2$



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },0)$, crece en $(0,2)$ y vuelve a decrecer en $(2,+\mathrm{\infty })$. En consecuencia hay un mínimo relativo en $x=0$, con $f(0)=0$, y un máximo relativo en $x=2$, con $f(2)=4e^{-1}\approx \mathrm{1,47}$.



Se calculan los dos límites en el infinito. Por la derecha aparece una indeterminación del tipo $\mathrm{\infty }\cdot 0$ que se resuelve escribiendo la exponencial en el denominador y aplicando dos veces la regla de L'Hôpital, pues el crecimiento de la exponencial domina al del polinomio.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{1-x}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{e^{x-1}}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x}{e^{x-1}}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{e^{x-1}}}=0$

Por la izquierda no hay indeterminación alguna: los dos factores crecen a la vez.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{1-x}=(+\mathrm{\infty })\cdot (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$

La función tiende a cero por la derecha y a infinito por la izquierda. Se puede afirmar, por tanto, que $y=0$ es asíntota horizontal de $f(x)$, pero solo cuando $x\to +\mathrm{\infty }$: por la izquierda la gráfica se dispara y no hay ninguna asíntota horizontal.