Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Un equipo de investigadores estudia la distancia recorrida por un delfín desde el punto donde ha sido liberado dentro de una reserva marina. La distancia recorrida al cabo de $t$ segundos viene dada por la función

$d(t)=140(1-e^{-\mathrm{0,05}t}),$

donde $t\ge 0$ y $d(t)$ es la distancia recorrida en metros. Sea $d^{\mathrm{\prime }}(t)$ la velocidad, en m/s, en el instante $t$.

a) Calcule a qué valor tiende la distancia recorrida por el delfín a lo largo del tiempo. [0,5 puntos]

b) Estudie el comportamiento de la velocidad del delfín, indicando en qué momentos aumenta o disminuye, así como cuáles son las velocidades mínima y máxima observadas en este estudio. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{tiende}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{recorrida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{delf}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se trata de calcular el límite de la función distancia cuando el tiempo tiende a infinito.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}d(t)={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}140(1-e^{-\mathrm{0,05}t})$

El exponente $-\mathrm{0,05}t$ tiende a $-\mathrm{\infty }$, de modo que la exponencial tiende a cero.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{e}^{-\mathrm{0,05}t}=0\Rightarrow {\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}d(t)=140(1-0)=140$

La distancia recorrida tiende a 140 metros: el delfín se aleja cada vez más despacio del punto de suelta y su recorrido tiene ese techo, que nunca llega a alcanzar. La recta $d=140$ es una asíntota horizontal de la gráfica.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{comportamiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{delf}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momentos}}\mathbf{\text{aumenta}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{disminuye,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{velocidades}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{observadas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{estudio.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad es la derivada de la distancia respecto del tiempo. Se deriva la función del enunciado con la regla de la cadena.

$d^{\mathrm{\prime }}(t)=140\cdot \left(\mathrm{0,05}{e}^{-\mathrm{0,05}t}\right)=7e^{-\mathrm{0,05}t}$

Para saber cuándo aumenta y cuándo disminuye se estudia el signo de su derivada, es decir, de la segunda derivada de la distancia.

$d^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=7\cdot (-\mathrm{0,05})e^{-\mathrm{0,05}t}=-\mathrm{0,35}{e}^{-\mathrm{0,05}t}$

La exponencial es siempre positiva, así que $d^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)<0$ para todo $t\ge 0$: la velocidad no aumenta en ningún momento, sino que disminuye de forma continua desde el instante de la liberación.

$d^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)<0\text{para todo }t\ge 0\Rightarrow d^{\mathrm{\prime }}(t)\text{ estrictamente decreciente}$

Al ser decreciente en todo el dominio, la velocidad máxima se alcanza en el extremo izquierdo, $t=0$, y el valor al que se acerca por abajo es su límite en el infinito.

$d^{\mathrm{\prime }}(0)=7e^0=7\text{ m/s}$

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{d}^{\mathrm{\prime }}(t)={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}7e^{-\mathrm{0,05}t}=0\text{ m/s}$

La velocidad máxima observada es de 7 m/s y se da justo en el instante de la liberación. A partir de ahí la velocidad disminuye siempre, acercándose a 0 m/s sin llegar a anularse: no hay un instante de velocidad mínima, sino un valor límite de 0 m/s, coherente con que la distancia recorrida se estabilice en 140 metros.