Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2025

Dada la función $f(x)=(x-1)e^{-x}$

a) Determine los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

b) Determine la curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión de $f(x)$. [1 punto]

c) Calcule la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ para $x=1$. [0,5 puntos]

La función es producto de un polinomio y una exponencial, de modo que su dominio es todo $\mathbb{R}$ y es derivable en él. Derivamos aplicando la regla del producto.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x}+(x-1)(-e^{-x})=e^{-x}(1-x+1)=e^{-x}(2-x)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow e^{-x}(2-x)=0\Rightarrow x=2$

La exponencial nunca se anula y siempre es positiva, así que el signo lo decide el factor $2-x$.

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1\cdot 2=2>0f^{\mathrm{\prime }}(3)=e^{-3}\cdot (-1)<0$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },2)$ y decrece en $(2,+\mathrm{\infty })$.

Como pasa de crecer a decrecer en $x=2$, ahí hay un máximo relativo, y no hay mínimos.

$f(2)=(2-1)e^{-2}={\displaystyle \frac{1}{e^2}}\approx \mathrm{0,1353}$

La función presenta un máximo relativo en el punto $(2,{\displaystyle \frac{1}{e^2}})$.



La curvatura la da el signo de la segunda derivada, así que volvemos a derivar.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}(2-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}(x-2-1)=e^{-x}(x-3)$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=3$

De nuevo el signo lo decide el factor polinómico.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0\text{ si }x<3f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0\text{ si }x>3$

La función es cóncava hacia abajo en $(-\mathrm{\infty },3)$ y cóncava hacia arriba (convexa) en $(3,+\mathrm{\infty })$.

Como la segunda derivada cambia de signo en $x=3$, ahí hay un punto de inflexión.

$f(3)=(3-1)e^{-3}={\displaystyle \frac{2}{e^3}}\approx \mathrm{0,0996}$

El punto de inflexión es $(3,{\displaystyle \frac{2}{e^3}})$.



La recta tangente en un punto tiene por pendiente la derivada en ese punto y pasa por él.

$f(1)=(1-1)e^{-1}=0f^{\mathrm{\prime }}(1)=e^{-1}(2-1)={\displaystyle \frac{1}{e}}$

$y-f(1)=f^{\mathrm{\prime }}(1)(x-1)\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{e}}(x-1)$

La recta tangente en $x=1$ es $y={\displaystyle \frac{x-1}{e}}$, que corta al eje $OX$ justo en el punto de tangencia.