Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Pregunta 4 (2 puntos)

Opción 4.1. Justifique que la derivada de la función $f(x)=x\ln (x^2+1)$ alcanza el valor $\ln \left({\displaystyle \frac{25}{2}}\right)$ en algún punto del intervalo $(1,2)$.

La función $f(x)=x\ln (x^2+1)$ es producto de un polinomio y de un logaritmo cuyo argumento no se anula nunca, así que es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, es continua en $[1,2]$ y derivable en $(1,2)$.

Se cumplen entonces las hipótesis del teorema del valor medio de Lagrange, que asegura la existencia de un punto $c\in (1,2)$ en el que la derivada coincide con la tasa de variación media en el intervalo.

$f^{\mathrm{\prime }}(c)={\displaystyle \frac{f(2)-f(1)}{2-1}}=f(2)-f(1)$

Se evalúa la función en los extremos del intervalo.

$f(2)=2\ln (2^2+1)=2\ln 5=\ln 25$

$f(1)=1\cdot \ln (1^2+1)=\ln 2$

$f^{\mathrm{\prime }}(c)=\ln 25-\ln 2=\ln \left({\displaystyle \frac{25}{2}}\right)$

Existe, por tanto, un punto $c$ del intervalo $(1,2)$ en el que la derivada de $f$ vale $\ln \left({\displaystyle \frac{25}{2}}\right)$, que es lo que se pedía justificar. Resolviendo numéricamente la ecuación $f^{\mathrm{\prime }}(c)=\ln \left(\frac{25}{2}\right)$ se obtiene $c\approx \mathrm{1,475}$, que en efecto está en el intervalo.