Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2026

Sea la función

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\ln (x)}}\mathrm{.}$

Halle el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos con sus correspondientes valores. [2 puntos]

El logaritmo solo está definido para $x>0$, y además no puede anularse el denominador. Como $\ln x=0$ únicamente en $x=1$, hay que quitar ese punto:

$\mathrm{Dom}(f)=(0,1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$

Se deriva como un cociente:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1\cdot \ln x-x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}}{(\ln x{)}^2}}={\displaystyle \frac{\ln x-1}{(\ln x{)}^2}}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo en el dominio, así que el signo de la derivada es el del numerador. Este se anula en un solo punto:

$\ln x-1=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e$



En $(0,1)$ el logaritmo es negativo, luego $\ln x-1<0$; en $(1,e)$ el logaritmo está entre 0 y 1 y el numerador sigue siendo negativo; a partir de $x=e$ pasa a ser positivo:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\text{ en }(0,1)\text{ y en }(1,e)f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\text{ en }(e,+\mathrm{\infty })$

La función decrece en $(0,1)$ y en $(1,e)$ y crece en $(e,+\mathrm{\infty })$.

En $x=e$ la derivada pasa de negativa a positiva, de modo que hay un mínimo relativo, y su valor es:

$f(e)={\displaystyle \frac{e}{\ln e}}={\displaystyle \frac{e}{1}}=e$

El mínimo relativo está en el punto $(e,e)\approx (\mathrm{2,72},\mathrm{2,72})$. No hay máximo relativo: en $x=1$ la función no está definida (allí tiene una asíntota vertical), y el cambio de decreciente a creciente solo ocurre una vez.