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Examen de Matemáticas II de Extremadura 2025 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Extremadura, convocatoria ordinaria de 2025. Aquí hay 7 ejercicios publicados, 7 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde

k \in R

{\begin{cases} x + k y + z = 2 + k \\ 2 x - y - k z = 1 - k \\ x - y - z = - 1 \end{cases}

a) Discuta el sistema en función del parámetro

k

. [1,5 puntos]

b) Resuelva para el caso

k = 1

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Sean las matrices

A = (\begin{array}{cc} m & 1 \\ 0 & - m \end{array})

B = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 0 & 2 \end{array})

con

m \in R

a) Calcule el valor de

m

para que se verifique la igualdad

A^{2} - A = B

. [1 punto]

b) Calcule

m

para que la matriz

A + B - I

tenga inversa, siendo

I

la matriz unidad de orden 2. [0,75 puntos]

c) Para

m = 2

obtenga la inversa de la matriz

A + B - I

. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Derivadas

Dada la función

f (x) = (x - 1) e^{- x}

a) Determine los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f (x)

. [1 punto]

b) Determine la curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión de

f (x)

. [1 punto]

c) Calcule la ecuación de la recta tangente a

f (x)

para

x = 1

. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Dadas las funciones

f (x) = 2

g (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x

a) Calcule

\int \frac{f (x)}{g (x)} d x

[1,25 puntos]

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de

g (x)

y el eje

X

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

a) Compruebe que el plano

π : x + y - z = 3

y la recta

r \equiv \frac{x}{3} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{2}

no se cortan. [1 punto]

b) Calcule la distancia entre el plano

π

y la recta

r

del apartado anterior. [1 punto]

c) Obtenga la ecuación del plano perpendicular a la recta

r

y que pase por el punto

(0, 1, - 1)

. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Geometría

Dados los puntos

A (1, 0, 2)

B (1, m, 6)

C (2, 1, 4)

D (4, 3, 2)

. Se pide:

a) Calcule

m

para que los 4 puntos sean coplanarios. [1 punto]

b) Obtenga la ecuación general del plano

A C D

. [0,5 puntos]

c) Para

m = 2

, calcule un vector perpendicular al plano

A B C

de módulo 4 y calcule el área del triángulo

A B C

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Distribución normal

Se sabe que la altura de los estudiantes de segundo de bachillerato de una cierta población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 174 cm y desviación típica 12 cm.

a) Calcule el porcentaje de estudiantes cuya altura está entre 162 cm y 186 cm. [1 punto]

b) ¿Qué altura tendrá un alumno si el 67 % de los estudiantes miden más que él? [1 punto]

c) Si tomamos una muestra de 1000 estudiantes de esa población, ¿cuántos tendrán una altura superior a 170 cm? [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7